Statistiek: de wetenschap die beschrijft hoe we gegevens kunnen
verzamelen, verwerken en analyseren. Statistiek
is een hulpmiddel bij empirisch onderzoek dat er op gericht is algemeen
geldige uitspraken te doen over wetmatigheden in de realiteit. De
statistiek biedt ons de nodige regels om consequent en verantwoord
conclusies te trekken over wetmatigheden in menselijk gedrag. De
statistiek biedt methodes om informatie te verkrijgen en te
analyseren.
Beschrijvende statistiek: het deel van statistiek dat de
eigenschappen of kenmerken van de steekproef samenvat aan de hand van
tabellen of getallen of grafieken
Verklarende statistiek: een deel van statistiek dat besluiten
maakt, verder analyseert en voorspellingen maakt
Inductieve statistiek biedt ons een houvast om
te bepalen of iets al dan niet significant is.
Centrummaten:
De modus, mediaan en het gemiddelde worden de centrummaten genoemd.
Een centrummaat is een getal dat een indruk geeft van het centrum van een
hoeveelheid gegevens (serie waarnemingen) of verdeling (mediaan). Ook kan het
de plaats aangeven van de meest voorkomende gegevens (modus).
Centrummaten worden ook wel 'locatiematen' of 'plaatsbepalende parameter'
genoemd.
Modus:
Bij mode denk je aan kleding die op
dat moment populair is en veel gedragen wordt.
In de statistiek is de modus het meest voorkomende getal (waarneming of element) uit een serie waarnemingen,
anders gezegd: de waarneming met de hoogste frequentie in een reeks.
Deze centrummaat is geschikt als het om zeer grote hoeveelheden
gaat.
Bij een verdeling in klassen is de klasse waar de meeste
waarnemingen
(= grootste frequentiedichtheid) in zitten de modale klasse.
LET OP: Er kan er maar 1 de
modus zijn.
Als er meer dan één waarnemingen allebei dezelfde hoogste frequentie hebben (gedeelde eerste plaats), dan is er géén modus. Is er in een tabel geen waarneming die
het vaakst voorkomt, dan is er ook geen modus.
De uitdrukkingen 'een modaal inkomen' of 'twee keer modaal', hebben
te maken met de modus van alle inkomens
Voorbeeld 1:
Gegeven is de rij: 1, 1, 1, 1, 1,
1, 2, 2, 3, 3, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8,
9, 10, 10
De 1 komt het vaakst voor (6 keer); daarom is 1de modus (hoewel de modus
een centrummaat is, hoeft de modus niet persé in het midden van alle
waarnemingen te liggen
Voorbeeld 2:
|
klasse |
frequentie |
|
1 tot 10
11 tot 20
21 tot 30
31 tot 40
41 tot 50
51 tot 60
61 tot 70
71 tot 80
81 tot 90
91 tot 100 |
-
1
3
3
4
8
6
2
2
1 |
De modale klasse is in dit voorbeeld klasse 51 tot 60, want deze klasse
heeft de hoogste frequentie (8 keer)
Mediaan: het middelste getal van een aantal
geordende getallen (van een rij gerangschikte waarnemingsgetallen) (notatie: Me).
De mediaan is het middelste getal in de waarnemingen als je die getallen
op logische volgorde zet. Je kan dus zeggen dat 50% van de waarnemingen onder de
mediaan en 50% boven de mediaan bevinden.
Om de mediaan van een rij getallen te vinden, moet je die getallen altijd
eerst op volgorde zetten.
- oneven aantal waarnemingen: de mediaan is het middelste getal
- even aantal waarnemingen:
Er is geen middelste getal… wel zijn er twee getallen die samen het midden vormen.
Bereken dan het gemiddelde van beide middelste getallen.
Voorbeelden:
Hoe bereken je wat het middelste getal is?
Neem nummer van het middelste getal = (totaal aantal waarnemingen + 1) :
2.
|
Voorbeeld 1:
Wat is de mediaan van 6, 4, 3, 6, 8, 7, 5,
12 en 1 ?
Eerst op volgorde zetten: 1, 3, 4,
5, 6, 6,
7, 8, 12
|
Er zijn 9 waarnemingen, dus het middelste waarnemingsgetal is het (9
+ 1) : 2 = 5. Dus het 5e getal.
De mediaan = 6
|
|
Voorbeeld 2:
Wat is de mediaan van 1, 6, 4, 3, 6, 8, 7, 5, 12
en 1 ?
Eerst op volgorde zetten: 1, 1, 3, 4,
5, 6, 6,
7, 8, 12
|
Er zijn 10 waarnemingen, dus het middelste waarnemingsgetal is het (10 +
1) : 2 = 5,5. 5,5 ligt tussen het 5e en 6e getal.
Je hebt dus het gemiddelde van het vijfde en zesde waarnemingsgetal nodig.
De middelste waarnemingsgetallen zijn 5 en 6.
De mediaan is (5 + 6) : 2 = 5,5
De mediaan is 5
|
|
Voorbeeld 3:
Wat is de mediaan van de volgende steelbladdiagram:
|
2 |
0
1 2 6 6 |
|
3 |
1
1 1 7 7
8 |
|
4 |
0
3 9 |
|
5 |
5
6 6 9 9 |
|
Er zijn 19 waarnemingen, dus het middelste waarnemingsgetal is het (19 +
1) : 2 = 10. Het 10e getal is precies 7.
De mediaan is dan 37.
|
|
Voorbeeld 4:
Gegeven is de onderstaande frequentietabel.
Bereken de mediaan.
|
Er zijn in totaal 3 + 4 + 5 + 6 + 2 + 4 = 24 waarnemingen.
Het middelste getal is het (24 + 1) : 2 = 12,5e getal.
Je zoekt dus het 12e en het 13e getal.
Begin van bovenaf te tellen.
Het 12e getal is nog net een 6. Het 13e getal is een 7.
De mediaan is dus (6 + 7) : 2 = 6,5. |
|
cijfer |
frequentie |
|
|
4
5
6
7
8
9
|
3
4
5
6
2
4
totaal 24 |
|
Gemiddelde: De som van de waarnemingen gedeeld door het aantal
waarnemingen.
Het gemiddelde is het getal, gevonden door het totaal van alle getallen te
delen door het aantal getallen.
Dus je telt
eerst
alle getallen bij elkaar op.
Dit antwoord
(het totaal)
deel je dan door het aantal
getallen.
|
Voorbeeld
1: Bereken het gemiddelde van de
volgende getallen:
1, 3, 4, 5, 6, 6,
7, 8, 12 |
a) We
tellen eerst alle getallen bij elkaar op:
1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 6 + 7 + 8 + 12
=
52
(het totaal van de getallen is 52).
b) Daarna
tellen wij het aantal getallen
(het aantal is 9 (tel maar na))
c) De
berekening wordt dan:
52 / 9 ≈ 5,778 (≈
5,8) |
| Voorbeeld 2:
Het berekenen van het gemiddelde
met een frequentietabel |
a) Bereken
het totaal van de frequenties.
b) Bereken/tel
het totaal aantal waarnemingen.
c) Bereken
het gemiddelde door het totaal van de waarnemingen te delen door het
totaal van de frequenties. |
| |
|
Turven
:
Turven is een
manier voor het noteren van een telling. Deze methode is vooral
handig als er weinig tijd is om te noteren (bijv. bij een observatie,
een bestelling)
Iedere keer als je iets telt zet je een verticaal streepje.
Ieder vijfvoud wordt gegroepeerd in groepjes van vijf weergegeven (eerst vier
verticale en dan een dwarsstreep er doorheen). Grotere getallen kunnen dan
handig berekend worden met de tafel van vijf.
|
 |
Welk getal
wordt hierboven afgebeeld? |
Frequentie: Het aantal keer dat
een getal voorkomt heet de frequentie van een getal. Een ander
woord voor frequentie is aantal.
Frequentietabel:
In een frequentietabel kun je aflezen hoe vaak (= de frequentie) een
waarnemingsgetal van een reeks voorkomt.
Een frequentietabel wordt doorgaans verticaal opgemaakt.
De waarnemingen staan dan links. Bij veelvuldige waarnemingen kunnen
deze vaak eerst geturfd worden. De frequentie wordt daarna in de
rechter kolom genoteerd.
Het is verstandig altijd ook het totaal van de frequenties te
berekenen. Het totaal is vaak nodig voor de berekening van het
gemiddelde, maar kan ook als controle dienen of alle waarnemingen
geïnventariseerd zijn.
Klasse: een logische gegroepeerde verzameling van opeenvolgende metingen met de
bedoeling alles overzichtelijker weer te geven
Klassengrenzen: de kleinste meting en de grootste meting in die klasse,
de uitersten waarden.
Klasseondergrens: de kleinste meting in die klasse
Klassebovengrens: de grootste meting in die klasse
Klassebreedte: het verschil tussen de grootste- en de kleinste
meting
Klassenmidden: gemiddelde van de klassengrenzen
ALLERLEI DIAGRAMMEN
Lijngrafiek
Staafdiagram
Een staafdiagram dat de gegevens van een klassentabel
grafisch voorstelt.
Op de horizontale as zijn de klassen uitgezet, op de
verticale as de frequenties. (eventueel met
scheurlijn).
Soms moet ook een histogram opgevat worden als oppervlaktediagram! Op
de horizontale as zijn er dan ongelijke klassenbreedten, op de
verticale as staat de frequentiedichtheid.
Histogram
Een histogram is een grafische voorstelling van gegevens
uit een frequentietabel.
De X-as van deze grafiek verdelen we in klassen. Hierop bouwen
we staafjes met de klassen als breedte.
Aan de hoogte(lengte) van deze staafjes kunnen we de absolute of
relatieve frequentie aflezen.
Cirkeldiagram
/ Sectordiagram / Taartdiagram: In een cirkeldiagram noem je de delen waarin de cirkel
verdeeld is sectoren.
Elke sector heeft een hoek bij het middelpunt. Deze
hoek heet sectorhoek.
De hoeken bij het middelpunt zijn samen altijd 360º.
Steel-blad-diagram
(=stengel-blad-diagram)
Een manier om gegevens op een overzichtelijke manier weer te
geven.
In onderstaand voorbeeld zijn van een momentopname de gemeten
snelheden binnen de bebouwde kom verwerkt.
De tientallen staan vooraan
(in de steel) en de rest staat achter de verticale lijn (op het blad).
Beelddiagram
Een beelddiagram of infographic is een kaart of diagram waar een
onderwerp met plaatjes en teksten wordt uitgelegd.
Cijfers zijn ter ondersteuning opgenomen. Het woord infographic
bestaat uit twee Engelse woorden: information and graphic. Information
betekent informatie. En graphic betekent grafisch (ook wel beeldend).
In onderstaand beelddiagram worden de gegevens door middel van figuurtjes in
beeld gebracht. Elk figuur, of een deel ervan, geeft een bepaalde
hoeveelheid of percentage aan.
Boxplot
Een boxplot is een grafiek van een rij geordende waarnemingsgetallen.
Boxplots worden gebruikt om een reeks getallen met elkaar te vergelijken.
Een boxplot bevat de volgende 5 kengetallen:
Het minimum / het
kleinste getal: Deze bevindt zich helemaal links van de getallenlijn.
Eerste
kwartiel (Q1) of mediaan van de eerste
helft:
Deze kan je op ongeveer dezelfde manier berekenen als de mediaan, maar
nu neem je alleen de kleinste helft van alle getallen. Deze zet je ook
weer op volgorde van laag naar hoog en het middelste getal is Q1.
De mediaan:
Deze centrummaat
bevindt zich op de middelste waarneming
van de boxplot.
Derde
kwartiel (Q3) of mediaan van de tweede
helft:
Zie de omschrijving bij Q1, maar nu neem je alleen de grootste helft
van alle getallen.
Het maximum / het
grootste getal:
Deze bevindt zich helemaal rechts van de getallenlijn.
De getallenlijn wordt recht onder de boxplot weergegeven.
Hier worden enkel de vijf meest markante getallen bijgeschreven.
Spreidingsmaten
Omdat centrummaten niets zeggen over
uitschieters in een verdeling, worden spreidingsmaten gebruikt.
Via spreidingsmaten kom je te weten hoe ver de gegevens in een verdeling
uit elkaar liggen;
hoe de waarnemingsgetallen gespreid liggen rondom een centrummaat
Spreidingsmaten zijn vooral handig om meerdere reeksen gegevens te
vergelijken.
Spreidingsbreedte
(variatiebreedte):
Het
verschil tussen de hoogste (max.) en de laagste waarneming (min.).
De spreidingsbreedte
is gelijk aan het verschil tussen de bovengrens van de hoogste klasse en
de ondergrens van de laagste klasse
De gehele lengte van de boxplot is gelijk aan de variatiebreedte.
Kwartielen:
Als men de mediaan van het deel voor/na de mediaan neemt;
elke kwartiel beslaat 25% van alle waarnemingen
(Inter)kwartielafstand: Deze is gelijk aan het verschil
tussen het derde en het eerste kwartiel.
Vijftig procent
van de behaalde scores
bevindt zich tussen Q1 en Q3.
Het verschil
tussen
Q1 en
Q3 (Q3 - Q1)
De inhoud van de “box” is gelijk aan de interkwartielafstand. 50% van alle
waarnemingsgetallen bevindt zich hiertussen. De waarnemingsgetallen
die niet in de doos liggen, zijn de extreme waarden.
Percentages berekenen
Voorbeeld: Van de
300 voertuigen zijn er
20
een vrachtwagen.
Bereken het percentage vrachtauto's.
a) Bij
procentberekeningen is het vaak handig een verhoudingstabel te maken.
Begin met het invullen van de verstrekte gegevens en zet vooraan
(of bovenaan) de tabel wat de getallen voorstellen.
|
aantal
voertuigen |
300 |
1 |
20 |
of deel x
geheel = |
|
procenten |
100 |
|
|
of 20 / 300 x
100% = |
b) Bij
procentsommen moet je de 100% altijd zelf invullen.
c) Bereken
met behulp van een etiketpijl achter de tabel de verhouding
tussen de getallen in de bovenste en onderste rij of
bereken met behulp van pijlen via de tussenstap 1 de verhouding tussen
de getallen.
Elke berekening die je in de bovenste- of onderste rij
doet moet ook in de andere rij worden uitgevoerd
d) Vergeet
niet bij een tabel of schema het eindantwoord apart te formuleren.
Sectorhoeken berekenen
Voorbeeld: Van de
300 voertuigen zijn er
20
een vrachtwagen.
Bereken de sectorhoek van de sector (taartpunt) vrachtauto's.
a) Bij
het berekenen van een sectorhoek is het vaak handig een verhoudingstabel te maken.
Begin met het invullen van de verstrekte gegevens en zet vooraan
(of bovenaan) de tabel wat de getallen voorstellen.
|
aantal
voertuigen |
300 |
1 |
20 |
of deel x
geheel = |
|
aantal graden |
360 |
|
|
of 20 / 300 x
360° = |
b) Bij
het berekenen van een sectorhoek moet je de 360° altijd zelf invullen.
c) Bereken
met behulp van een etiketpijl achter de tabel de verhouding
tussen de getallen in de bovenste en onderste rij of
bereken met behulp van pijlen via de tussenstap 1 de verhouding tussen
de getallen.
Elke berekening die je in de bovenste- of onderste rij
doet moet ook in de andere rij worden uitgevoerd
d) Vergeet
niet bij een tabel of schema het eindantwoord apart te formuleren.
Tekenen: Gebruik
je potlood voor het tekenen van diagrammen.
I.p.v. inkleuren mag je de staaf- en sectordiagrammen ook arceren (gaat sneller).
Verzorging: Werk netjes en overzichtelijk.
Zorg dat een buitenstaander vlot gegevens kan aflezen uit de diagrammen.
Voeg een legenda toe als de gebruikte afkortingen niet vanzelfsprekend
zijn.
Assen benoemen: Zet bij de uiteinden van de assen wat
de getallen of tekens betekenen.
Berekeningen: Schrijf de berekeningen van alle sectorhoeken
voordat je een sectordiagram gaat tekenen;
doe dat ook (voor jezelf) als dat niet speciaal gevraagd wordt.
Beelddiagrammen: Geef berekeningen als uitleg bij het
aflezen van gegevens uit een beelddiagram
Staafdiagrammen: Zet onderaan elke staaf, TUSSEN de
roosterlijnen, wat de staaf betekent
De uiteinden (bovenaan) van de staven nauwkeurig horizontaal tekenen
Arceren (om en om) gaat sneller dan kleuren
Lijndiagrammen: Aflezen van gegevens uit een lijndiagram
(grafiek) aangeven met behulp van streepjeslijnen
Sectordiagrammen (= cirkeldiagrammen): Schrijf in of bij
elke sector wat de stukken voorstellen (= sectornaam), de sectorgrootte (bijv. het percentage of het aantal) en indien bekend de grootte van de
sectorhoeken (middelpuntshoeken)
Steel-blad-diagrammen: De getallen van het 'blad' recht
onder elkaar noteren (per hokje één getal)
Tussen de getallen van het 'blad' horen geen scheidingstekens (bijv. komma's, streepjes e.d.)
