Plaatjes over Pythagoras

DEMO & UITLEG

Wikipedia

Pythagoras

Beker der Gerechtigheid

 

Wiskunde academie: Pythagoras (verzamelpagina)

Uitleg en geschiedenis Pythagoras

De Stelling van Pythagoras

Pythagoras (geschiedenis, stelling, boom, Pythagoras-links,enz.)

Filmpje Pythagoras beker (e)

You Tube

De Stelling van Pythagoras 1

De Stelling van Pythagoras 2

Rechthoekszijden berekenen

Langste zijde berekenen

Stelling van Pythagoras 1

Stelling van Pythagoras 2

Bewijs Stelling van Pythagoras (water demo)

Zelf Pythagorasboom tekenen

Moderne Wiskunde

De stelling van Pythagoras

Langste zijde berekenen

Rechthoekszijde berekenen

Stelling van Pythagoras gebruiken

Diagonaal berekenen

Lichaamsdiagonaal berekenen

Doorsnede op ware grote tekenen

Huiswerk-tv

Pythagoras in ruimtelijke figuren

Pythagoras in de ruimte

Praktijk

Pythagoras in het dagelijks leven

Suggesties voor pass/kkende inhoud zijn welkom!

KUNNEN  /  VAARDIGHEDEN

- Situatieschets (in 2D) maken van een aantal gegevens

- Situatieschets (in 3D) maken van een ruimtelijke voorstelling of plaatje

- Het schema van de  'Stelling van Pythagoras' kunnen maken en gebruiken

- Rechthoekszijden rechthoekige driehoek berekenen

- Langste zijde (= 'schuine zijde' of hypotenusa) rechthoekige driehoek berekenen

 

KENNEN  /  BEGRIPPEN  /  TAGS

langste zijde  |  rechthoekige driehoek  |  rechthoekszijden  |  schets  |  stelling van Pythagoras

APPLETS

Pythagoras bewijs met water (YT)

Stelling van Pythagoras

Pythagoras  (e)

Pythagoras (geschiedenis)

Boom van Pythagoras (fractals)

Stelling van Pythagoras

Pythagoras (uitleg & oefenen)

De Stelling van Pythagoras

OEF Pythagoras

Pythagoras : Wiskundetijdschrift voor jongeren

Oefenopgaven

Pythagoras 

Pythagoras (xls) 

Pythagoras (random oefenen)

Pythagoras   1   |    2   |    3   |    4    (JCloze)

Geschiedenis van Pythagoras (JCloze)

Download oefenprogramma Pythagoras

Pythagoras

geogebra

Pythagoras  ((uitleg & demo)

Pythagoras  (uitleg schema)

Pythagoras  (boom)

Pythagoras  (bewijs 1)

Pythagoras  (bewijs 2)

Pythagoras  (bewijs 3)

Pythagoras  (bewijs 4)

Pythagoras  (bewijs5)

Pythagoras  (formule & schema)

Pythagoras als ramenlapper

Pythagoraspuzzel

 

PYTHAGORAS

ĎPythagoras van Samosí (ca. 582/570 vůůr Chr. Ė 496 vůůr Chr.) was een Griekse wijsgeer die zich vooral bezighield met filosofie, astrologie (sterrenkunde), muziek, geometrie en een beetje wiskunde.  Beknopt gezien heeft Pythagoras een zeer grote stempel op de geschiedenis en vooral de wetenschap gedrukt.  Zijn wiskundige theorieŽn zijn nog geldig en worden nog steeds aangeleerd!

Pythagoras was de grondlegger van "Mathematica" op zich. Hiernaast was Pythagoras ook een directe medeschuldige van het feit dat, uit de filosofie, veel later de wetenschappelijke stromen ontstonden, waaronder: wiskunde, natuurkunde, astronomie, geneeskunde, etc.

Pythagoras werd geboren op het toen welvarende Griekse eiland Samos in de EgeÔsche Zee.

De stad Pythagorio, dat in het zuidoosten van het eiland aan de kust ligt, is naar hem genoemd.  Hier staat ook een beeld van Pythagoras, dat door Nikolaos Ikaris in 1989 is gemaakt.

''Samos"' (Turks: ''Sisam'') is een Grieks eiland in het oosten van de EgeÔsche Zee, vlak voor de kust van Klein-AziŽ(het huidige Turkije).  Vathy (of ''Samos stad'') is de hoofdstad van het eiland.  Het is een havenstad in het noordoosten van het eiland, aan de Middellandse Zee.  Het eiland heeft hoge bergen, zoals de Kerketefs berg in het westen, die met 1.437 meter een van de hoogste bergen van de EgeÔsche Zee is, en de Ampelos berg in het midden van het eiland, die 1.150 meter hoog is.  Samos kan eenvoudig vanaf andere Griekse eilanden per boot bezocht worden, zoals vanuit Rodos (eiland) en Kos.  Enkele goederen die op het eiland geproduceerd worden, zijn: tabak, wijn, olijfolie en citrusvruchten.

In de zuidooslijke havenstad Pythagoria wordt Pythagoras geŽerd met een groot monument (Google Maps: Samos)

Zijn vader was de koopman Mnesarchus uit Tyrus (Libanon).  Volgens de legende bracht hij graan naar de stad Samos toen daar hongersnood heerste, en kreeg daarvoor het burgerrecht.  Pythagoras' moeder was Pythais uit Samos.  Waarschijnlijk had hij twee of drie broers.

In zijn jeugd kreeg Pythagoras een goede opleiding; hij kreeg onder meer lessen in filosofie, lierspel en poŽzie.  Volgens de overlevering maakte hij met zijn vader verschillende lange reizen naar Egypte en het Oosten (SyriŽ, BabyloniŽ).  Mogelijk hebben deze reizen door de oudheid zijn leergierigheid gestimuleerd.

Volgens sommige bronnen woonde Pythagoras eerst een tijd in Egypte en daarna als krijgsgevangene in Babylon (het huidige Bagdad), voordat hij naar Samos terugkeerde.

Zeker is dat hij rond 530 vůůr Chr. vanuit Samos naar Croton(a) in Zuid-ItaliŽ vertrok en een eigen filosofische en religieuze school of broederschap (kolonie, sekte) opgericht wat voortvloeide in een eigen "strenge leer".  Uit deze school ontstond een mystiek-rituele cultus, gewijd aan Apollo, god van de wijsheid en schone kunsten.

Volwassenen werden onderwezen in filosofie en "mathematikoi" (= wiskunde).  Ook in andere Zuid-Italiaanse steden vestigde hij afdelingen van de gemeenschap.

Afrikaans: wiskunde

Bulgarian: Математика

Catalan: matemŗtiques of matemŗtica

Chinese: 数学 (shý xuť)

Corsican: matematica

Czech: matematika

Danish: matematik

Dutch: wiskunde       

Esperanto: matematiko

Estonian: matemaatika

Finnish: matematiikka

French: mathťmatiques

Frisian: wiskunde

Gallegan: matemŠticas

German: Mathematik

Greek, Modern: μαθηματικά

Hebrew: מתמטיקה

Hungarian: matematika

Icelandic: stśrūfrśūi

Interlingua: mathematica

Irish: matamaitic

Italian: matematica

Japanese: 数学 (sūgaku or suugaku)

Korean: 수학 (suhak)

KiSwahili: hisabati

Latin: mathematica

Norwegian: matematikk

Polish: matematyka

Portuguese: matemŠtica

Romanian: matematică

Russian: матема́тика (matema'tika)

Slovak: matematika f, počty

Spanish: matemŠticas

Swedish: matematik

Turkish: matematik

Welsh: mathemadeg

Pythagoras en zijn aanhangers hebben belangrijke invloed uitgeoefend op het openbare en het politieke leven.  Ze zijn daarbij ook op krachtig verzet gestuit; tegen het eind van zijn leven moest Pythagoras Croton verlaten en enkele decennia later vond een algehele opstand tegen zijn aanhangers plaats.

Pythagoras was hťťl gelovig.  Hij streefde harmonie en reinheid van de ziel na.

Alle studenten op zijn school moesten zich houden aan strenge leefregels.  Nieuwkomers, moesten de eerste twee jaar zwijgen; luisteren naar de theorieŽn van oudere studenten.  Pas daarna kreeg het recht om te spreken en later ook volwaardig mee te brainstormen en discussiŽren.  Deed een van de studenten een ontdekking, dan bleef hij anoniem, de ontdekking was door de school gedaan, de school kreeg dus alle eer en niet de student.

Of de beroemde Stelling van Pythagoras:  a2 + b2 = c2   ooit door Pythagoras zelf of door een van zijn volgelingen is bewezen, is niet bekend.  Wel is duidelijk dat deze stelling al zo'n 1700 jaar eerder bij de BabyloniŽrs bekend was, en dus zeker niet door de PythagoreŽrs verzonnen is.

Een ander belangrijk punt uit de filosofie van Pythagoras was de overtuiging dat de ziel onsterfelijk was en na de dood overging in een ander lichaam.  Dat hoefde niet noodzakelijk dat van een mens te zijn.  Pythagoras was dan ook een grote tegenstander van het eten van vlees - volgens zijn filosofie was het dan immers mogelijk om je eigen grootouders op te eten!

"Pythagoras
in gesprek met een voorvader"

De Romeinse dichter Ovidius, gefascineerd was door Pythagoras' denkbeelden, legt in zijn meesterwerk 'de Metamorphosen' Pythagoras de beroemde woorden "Omnia mutantur, nihil interit" ("Alles verandert, niets vergaat") in de mond.

"Zolang mensen massaal dieren slachten, zullen zij ook elkaar vermoorden.  Inderdaad, hij die het zaad zaait van moord en ellende kan geen vreugde en liefde oogsten". (Pythagoras)

Toen de Vegetarian Society in 1847 in Engeland werd opgericht was het begrip vegetariŽr pas net in omloop.  Het woord 'vegetariŽr' werd voor het eerst in 1842 gebruikt.  Voor die tijd werden vegetariŽrs dikwijls PythagoreeŽrs genoemd of aanhangers van het systeem van Pythagoras, naar de eerste uit de oudheid bekende vegetariŽr.

Naast de filosofie en wiskunde, hield hij zich ook veel bezig met astronomie.  Hij ontwikkelde bijvoorbeeld de theorie dat licht uit een lichtbron op alle voorwerpen weerkaatst, en dat die weerkaatsingen van licht, als deze op je ogen vallen, ervoor zorgen dat je kunt zien.

Hij was ook de eerste die ontdekte dat de ochtendster en de avondster beiden de planeet Venus waren.

Vooral de getallen waren erg typerend voor Pythagoras zijn leer, met de nummer 10 (tien) als "heilig getal". 1+2+3+4=10.  Vrij en beknopt vertaald, geometrisch gezien: punt, streep, vierkant, kubus. Filosofisch gezien: eenheid (individu), samenhang (binding), omvang (samenhorigheid), volume (multi-dimensioneel, alles).

De Westerse muziek is gebaseerd op berekeningen van Pythagoras, die al voor het begin van onze jaartelling  met wiskundige formules de harmonische intervallen ontdekte; octaaf (een sprong van acht tonen), kwint (een sprong van vijf tonen), kwart (een sprong van vier), grote terts (een sprong van drie plus een halve toon), kleine terts (een sprong van drie min een halve toon) enz..

De bekendste stelling uit de wiskunde is ongetwijfeld de stelling van Pythagoras.  Pythagoras is niet degene die de stelling heeft bedacht, van Babylonische kleitabletten weten we dat de BabyloniŽrs de stelling al ruim 1000 jaar voor Pythagoras kenden.  Men vermoedt dat Pythagoras de eerste is geweest die de stelling netjes bewezen heeft.

 

Boom van Pythagoras:

Door de stelling van Pythagoras grafisch achterelkaar uit te beelden is het mogelijk een 'boom op te zetten'.

 

Applet 1     |     Applet 2     |     Applet 3

 

 

Pythagoras beker

De vinding van de zogenoemde 'Beker der rechtvaardigheid' wordt ook aan Pythagoras toegeschreven.  Deze beker is zo ontworpen dat hij vanzelf helemaal leegloopt wanneer deze te vol wordt geschonken.

Dit komt doordat gebruik wordt gemaakt van de wet van de communicerende vaten.
Met deze beker wilde hij zijn gulzige leerlingen bescheidenheid leren.

(Youtube demo)

Pythagorese drietallen:

Pythagorese drietallen (tripples) zijn drie natuurlijke gehele getallen die de formule precies laten uitkomen.  Vul in de volgende formules voor m en n een geheel getal in om Pythagorese drietallen te zoeken.
Controleer of het berekende drietallen in het onderstaande overzicht zijn te vinden.

                                           a = m2 - n2               b= 2*m*n                c = m2 + n2

bijv: m=3 ;   n=2                a = 3≤ - 2≤ = 13    |    b = 2*3*2 = 12    |    c = 3≤ + 2≤ = 13

 Een nieuw Pythagorees drietal krijg je  als je onderstaande drietallen met een natuurlijk getal vermenigvuldigd:

3 - 4 - 5 (6 - 8 - 10,  9-12-15,  12-16-20,  enz.)        5 - 12 - 13 (10 - 24 - 26,  15-36-39,   enz.)

7 - 24 - 25 (14 - 48 - 50, enz. )        8 - 15 - 17 (16 -30 - 34)        9 - 40 - 41 (18 - 80 - 82, enz.)

12 - 35 - 37 (24 - 70 - 37, enz.)                16 - 63 - 65 ( 32 - 63 - 130, enz.)                20 - 21 -29 (40 - 42 - 58, enz.)

Tekenen:               Maak bij elke opgave een schets van een rechthoekige driehoek (ook als dat niet speciaal gevraagd wordt)
en zet lengtematen bij de juiste lijnenstukken

Lezen:                    Lees de opdracht (tweemaal?) goed door;

welke zijde wordt gevraagd,
in hoeveel decimalen en
in welke eenheid moet het eindantwoord?

Formule:                In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de lengte van de hypotenusa (langste (schuine?) zijde) gelijk aan de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekszijden.

Als de lengte van twee willekeurige zijden van een rechthoekige driehoek bekend zijn, kan de lengte van de derde zijde met behulp van de 'Stelling van Pythagoras' berekend worden.  Deze stelling is misschien wel de beroemdste stelling in de wiskunde.
Als jij je ouders hier naar vraagt, zullen zij hoogstwaarschijnlijk meteen de regel  a2  +  b2  =  c2  opnoemen.

Rechthoekszijde 2   +  Andere rechthoekszijde 2   =  Langste zijde

(rhz a)2      +      (rhz b)2      =      (lz c)2

(a)2         +        ( b)2          =     ( c)2

Natuurlijk komt deze formule op hetzelfde schema neer die wij met onze methode aanleren.
Begin de uitwerking zoals gewoonlijk met de gebruikte formule en noteer bij het eindantwoord de gevraagde zijde en de eenheid.
Jullie mogen een eigen stijl van uitwerken ontwikkelen, maar toon je manier wel ruim voor de toets om te checken of deze afdoende is.  Als tijdens de voortgangstoets nadrukkelijk gevraagd een schema bij de uitwerking te leveren, dan moet jij daar wel toe in staat zijn  !!

Stelling van Pythagoras:    a2    +    b2    =    c2

2  +  2 

Langste zijde (c) is ׀   ≈cm   

Schema:        De omschrijvingen bovenaan het schema horen  VOLUIT  opgeschreven te worden.
De 'z' en 'kw' zijn geen officiŽle afkortingen voor 'zijde' en 'kwadraat'.  Met huiswerk maken is dat geen probleem, maar tijdens het corrigeren van een toets is dat niet wenselijk.  De afkortingen voor een
zijde,  z en z2 ,  zijn naast elkaar wel vanzelfsprekend.

 

Voorbeeld uitwerking met behulp van een schema:

                               Gegeven is een rechthoekige driehoek ABC met AB = 3 cm en BC = 5 cm.
    - Bereken m.b.v. een schema de langste zijde AC op 2 decimalen nauwkeurig.

lengte zijde (z)

oppervlakte (z2)

rechthoekszijde 1

r.h.z. 2

a =   ?  cm

b =   ?  cm

a2 =   ?  cm2

b2 =   ?  cm2

langste zijde

c =   ?  cm

c2 =   ?  cm2

AC   ?      ?  cm

Valkuil:           Zet altijd de langste zijde van een rechthoekige driehoek onderaan in het schema van Pythagoras;
de langste zijde is altijd de zijde tegenover de rechte hoek!
Ieder jaar weer geeft mij dit een onmachtig gevoel als ik zie hoeveel leerlingen, ondanks herhaalde waarschuwingen en oefeningen,  tůch in deze valkuil trappen !!!!!   Gevolg is dan wel dat het eindantwoord geheel onjuist is en er derhalve geen/amper punten zijn te verdienen (hooguit tijdens de aanleerfase ťťn punt voor een correct schema of de 'moeite' !)

Rechthoekig:   De stelling van Pythagoras kun je 'alleen' gebruiken bij een rechthoekige driehoek.
Als van een driehoek de lengte van alle zijden bekend zijn, dan kun je nagaan of deze driehoek een rechthoekige driehoek is.  Als de berekening na invulling van de gegevens in de formule/schema van Pythagoras klopt, dan heb je een rechthoekige driehoek. Als deze som niet juist is, dan heeft deze driehoek geen rechte hoek.

Spelling:        breed, breder, breedte,
kwadraat, kwadraten, kwadrateren  
(niet verwarren met:  staaldraad, staaldraden)

Tekenen:       Vermeld alle bekende gegevens in elke gemaakte schets of tekening
Hoekpunten met hoofdletter benoemen
Zet de lengte van de zijden in het midden van de lijnstukken

Eindantwoorden: Net als bij een (verhoudings)tabel moet je
het eindantwoord bij het schema van Pythagoras apart formuleren
Zet er altijd welke zijde is berekend (zie ook notatie) en om welke eenheid gaat het?

Afronden:      Gebruik het 'afrondteken'    als het antwoord is afgerond.
Bij elke afronding het voorgaande tussenantwoord (met extra decimaal) bijschrijven

Notatie:          Let op de juiste notatie van de punt, hoeken, lijnstukken en figuren; let op gebruik hoofdletters en zo mogelijk in alfabetische  volgorde  (bijv. punt A, punt P, hoek A, H, lijn AB, lijn PQ, driehoek PQR, DKLM)

Hoofdletters:   Hoekpunten en lijnstukken met een hoofdletter aangeven.
Sommige hoofdletters blijven lastig; met name de hoofdletters F, P en Q leveren vaak problemen op.

     Stelling van Pythagoras  (onbekende zijde berekenen m.b.v. een formule)

Rechthoekige driehoek

 

 

 

 

    


     Stelling van Pythagoras  (onbekende zijde berekenen m.b.v. een schema)

Rechthoekige driehoek

zijde

z2 (kwadraat)