Als
'Plaatsbepalen' lastig blijkt
blijft het belangrijk
'het hart op de juiste plaats te hebben.'
Oefenopgaven
Excel
Pythagoras
Praktijk
Suggesties voor pass/kkende
inhoud zijn welkom!
KUNNEN / VAARDIGHEDEN
aanzichten:
de plaats van voorwerpen in een
bovenaanzicht bepalen als je twee gegeven zijaanzichten hebt
schaal:
werkelijke afstand berekenen met behulp van
een schaallijn
koershoeken:
een koershoeken meten
een koershoeken tekenen
een plaats bepalen met behulp van koershoeken
plaatsbepalen:
een plaats bepalen met behulp van 3 gegevens: afstand, richting
en hoogte
een plaats in de ruimte vastleggen met drie coördinaten
een lengte berekenen m.b.v.
Stelling van Pythagoras
lichaamsdiagonaal:
de lengte van een lichaamsdiagonaal in ruimtefiguur berekenen
Plaatsbepalen:
- In plat vlak (2 dimensies) - met 2 coördinaten (x,y);
bijv. punt P(4,7), een plaats (afstand, richting).
- In de ruimte (3 dimensies) - met 3 coördinaten (x,y,z); bijv.
punt P(1,2,3) of plaats/object (afstand, richting, hoogte).
Volgorde coördinaten in de ruimte (x,y,z):
Begin in het punt O (de Oorsprong)
x-coördinaat: Coördinaat 1 geeft aan hoeveel plaatsen je naar voren
of naar achteren moet.
y-coördinaat: Coördinaat 2 geeft aan hoeveel plaatsen je naar rechts
of naar links moet.
z-coördinaat: Coördinaat 3 geeft aan hoeveel plaatsen je naar boven
of naar beneden moet.
Voorbeeld 1: Stel punt P1 is aangegeven met
coördinaten P1(7, 2, 8);
Dat betekent vanuit de O(0, 0, 0) eerst 7 stappen over de X-as naar
voren.
Daarna 2 stappen over de Y-as naar rechts.
Tenslotte 8 stappen over de Z-as omhoog.
Punt P1 is daarmee bereikt.
Voorbeeld 2: Bij negatieve coördinaten is de te volgen richting
tegenovergesteld van de standaardrichting.
Stel punt P2 is aangegeven met coördinaten P2(-7,
-2,
-8);
Dat betekent vanuit de O(0, 0, 0) eerst 7 stappen over de X-as naar
achteren.
Daarna 2 stappen over de Y-as naar links.
Tenslotte 8 stappen over de Z-as omlaag.
Punt P2 is daarmee bereikt.
Plaatsbepaling m.b.v. snijpunten van lijnen:
In een Oxy-assenstelsel kun je met 2 coördinaten een plaats in een
plat vlak aangeven met (afstand, richting).
In een Oxyz-assenstelsel kun je met 3 coördinaten een plaats in de
ruimte aangeven met (afstand, richting, hoogte).
Om in de ruimte elk punt te voorzien van coördinaten gebruiken we dan drie
coördinaatassen die loodrecht op elkaar staan. Het snijpunt van
de drie assen heet weer de Oorsprong en heeft als coördinaten O(0,
0, 0).
Elk punt in de ruimte wordt gegeven door drie coördinaten.
Naast een x-coördinaat en een y-coördinaat is er een derde coördinaat nodig om
de hoogte
van een ruimtefiguur aan te geven: de z-coördinaat.
Er is een vaste volgorde om
een punt in de ruimte aan te geven. Coördinaten in de ruimte worden
geschreven in de volgorde (x, y, z).
Notatie coördinaten: De coördinaten staan altijd tussen haakjes
en gescheiden door een komma. Als het punt een naam heeft (vaak een
hoofdletter), dan wordt deze direct voor het eerste haakje geschreven.
Tussen de hoofdletter en eerste haakje horen geen andere tekens te staan.
Net als bij een vlak assenstelsel
begin je in de Oorsprong. Punt O ligt op het
snijpunt van de X-as, de Y-as en de Z-as (Merk op dat de X-as en de Y-as anders lopen dan in een vlak
assenstelsel. Beide assen gebruik je om een punt op de bodem van het
ruimtefiguur te bepalen. De Z-as gebruik je om de hoogte
van een ruimtefiguur aan te geven).
Vanuit punt O volg je eerst de X-as voor de voorwaartse
(of achterwaartse-) verplaatsing,
daarna de Y-as voor de zijwaartse verplaatsing (naar links of
rechts) en tenslotte de Z-as voor de verticale verplaatsing
(hoogte of diepte).
Om de coördinaten van het figuur hieronder te vinden, loop je altijd vanuit
O eerst naar voren, dan naar rechts en tenslotte naar
boven.
Het rode punt P(2, 6, 4) kun je zo vinden:
1) Begin in punt O en ga 2 plaatsen naar voren,
2) Ga daarna zes stappen naar rechts,
3) Ga tenslotte 4 stappen omhoog.
Ga na dat de coördinaten van punt A (3, 0, 0) zijn.
Controleer zo ook de volgende coördinaten: C
?
C(0, 6, 0) ,
E
?
E(4, 5, 0)
, F
?
F(4, 6, 5)
en H
?
H(0, 0, 5) .
Valkuilen bij deze oefeningen zijn vaak de verwisseling van de assen en
een onjuiste notatie van de coördinaten.
Punten in de ruimte waarvan alle coördinaten geheel zijn, noemen we
roosterpunten.
Net als in het platte vlak zou je in de ruimte met een rooster kunnen werken,
maar dat gaat grafisch vaak ten koste van de duidelijkheid.
COÖRDINATEN OP DE WERELDBOL
Met een
Oxy-assenstelsel
kun je enkel een plaats in het platte vlak vastleggen.
Voor
plaatsbepaling op de aarde (een bol) heb je een ander coördinatenstelsel
(referentiestelsel) nodig.
De aarde is een bol die om een 'verticale' as draait. Aan de uiteinden van die as
zijn de
Noordpool en de Zuidpool.
Als je de aarde snijdt met een vlak loodrecht op die as, is de doorsnede een
horizontale
breedtecirkel of parallel (parallel aan de evenaar).
De grootste breedtecirkel is de evenaar (equator). Het vlak door
de evenaar (equatorvlak) gaat door het middelpunt van de aarde en deelt de
aarde als het ware in twee delen; een Noordelijk halfrond en een
Zuidelijk halfrond.
Als je de aarde snijdt met een vlak waarin de aardas ligt, krijg je een
verticale
meridiaan of lengtecirkel. Alle meridianen zijn
grootcirkels. Dat zijn cirkels (op het aardoppervlak) waarvan het
middelpunt samenvalt met het middelpunt van de aarde. Grootcirkels zijn
de grootste cirkels die je op het aardoppervlak kunt maken; hun straal is
gelijk aan de straal van de aarde.
Met behulp van de breedtecirkels en de lengtecirkels kun je elk punt op aarde
met twee geografische coördinaten bepalen.
De eerste coördinaat (noorderbreedte of zuiderbreedte) geeft aan op
welke breedtecirkel het punt ligt. Er wordt gerekend vanaf de evenaar.
De evenaar heeft dus de breedtegraad nul.
De tweede coördinaat (westerlengte of oosterlengte) geeft aan op welke
meridiaan het punt ligt. Als nulmeridiaan is gekozen de meridiaan
door het Engelse plaatsje Greenwich vlak bij Londen (GMT = Greenwich
Mean Time).
De beide
coördinaten worden uitgedrukt in graden, minuten en seconden; het zijn dus
eigenlijk hoeken.
De afstand tussen de graden (°) in worden
minuten (') genoemd.
Een graad is
dus in te delen in 60 minuten. De minuut is tenslotte nog in te delen in
60 seconden ('').
G.P.S. (Global Positioning System): Tegenwoordig is het met behulp van
GPS mogelijk om direct te bepalen waar je je op aarde bevindt. Global
positioning system (gps) is de commerciële naam voor een wereldwijd
satellietplaatsbepalingssysteem dat vanaf 1967 werd ontwikkeld voor
gebruik door de strijdkrachten van de Verenigde Staten.
De geografische coördinaten van locatie Zamenhof van het Comenius College te
Leeuwarden zijn:
N 53° 12' 34.4'', E 5°
48' 56.6'' (N = NoorderBreedte (North
Latitude), E = OosterLengte (=
Eastern Longitude)
(Nederlandse notatie:
53°
12' 34.4'' NB, 5° 48' 56.6''
OL)
Aan deze getallen kun je zien dat de verbindingslijn van de Zamenhof met het
middelpunt van de aarde
een hoek van ruim 53° maakt
met het equatorvlak en dat het meridiaanvlak door de Zamenhof ruim 5°
oostelijker ligt van de nulmeridiaan.
Internettip: Open de website
www.GPScoordinaten.nl en bepaal de exacte GPS-coördinaten van je woonhuis
/ ingang van school of een andere voor jou belangrijke plaats. Zoom
verder in op de kaart tot je de gele ballon precies op je woonhuis kunt
zetten. Boven de kaart zie je in het vak dan de exacte coördinaten en de
hoogte van de gemarkeerde plaats.
Als jij de GPS-coördinaten (Engelse notatie) intypt in de zoekbalk van Google
of Google Maps krijg je ook de juiste bestemming.
ZOEKOPDRACHT:
Bepaal met de hulp van de gegevens onder de blauwe balk het exacte adres
van de aangegeven locatie;
vermeld zowel de straat als de woonplaats.
