Als 'Plaatsbepalen' lastig blijkt
blijft het belangrijk
'het hart op de juiste plaats te hebben.'

Applets

Pythagoras

(Meer  Meetkunde ...)

Oefenopgaven

 

Excel

Pythagoras

GEOgebra

Aanzichten lichamen  (demo)

UITLEG EN DEMO

Eiland aanzichten

Plaatsbepalen

2D en 3D co÷rdinaten

 

You Tube

Plaats en afstand

Co÷rdinaten in de ruimte

Co÷rdinaten in de ruimte

Pythagoras in de ruimte

Pythagoras in de ruimte

Lichaamdiagonalen berekenen (met Pythagoras)

 

Ruimteco÷rdinaten

Plaatsbepalen

Inleiding tot v3D in de praktijk

Praktijk

Suggesties voor pass/kkende inhoud zijn welkom!

KUNNEN  /  VAARDIGHEDEN

aanzichten:
de plaats van voorwerpen in een bovenaanzicht bepalen als je twee gegeven zijaanzichten hebt

schaal:
werkelijke afstand berekenen met behulp van een schaallijn

koershoeken:
een koershoeken meten
een koershoeken tekenen
een plaats bepalen met behulp van koershoeken

plaatsbepalen:
een plaats bepalen met behulp van 3 gegevens: afstand, richting en hoogte
een plaats in de ruimte vastleggen met drie co÷rdinaten
een lengte berekenen m.b.v.
Stelling van Pythagoras

lichaamsdiagonaal:
de lengte van een lichaamsdiagonaal in ruimtefiguur berekenen

KENNEN  /  BEGRIPPEN  /  TAGS

aanzichten:  aanzichten

koershoeken:  windroos  |  koers  |  koershoeken

schaal:  schaallijn

Pythagoras:  rechthoekszijde  |  langste zijde  |  stelling van Pythagoras

diagonalen:  diagonaal  |  lichaamsdiagonaal  |  grensvlakdiagonaal

ruimtefiguren:  diagonaalvlak  |   lichaamsdiagonaal

plaatsbepaling:  plaatsbepaling  |  plaats en afstand  |  plaats in de ruimte  |  drie co÷rdinaten

Plaatsbepalen:
- In plat vlak   (2 dimensies) - met 2 co÷rdinaten (x,y);    bijv. punt P(4,7), een plaats (afstand, richting).
- In de ruimte (3 dimensies) - met 3 co÷rdinaten (x,y,z); bijv. punt P(1,2,3) of plaats/object (afstand, richting, hoogte).

Volgorde co÷rdinaten in de ruimte (x,y,z):
Begin in het punt O (de Oorsprong)
x-co÷rdinaat: Co÷rdinaat 1 geeft aan hoeveel plaatsen je naar voren of naar achteren moet.
y-co÷rdinaat: Co÷rdinaat 2 geeft aan hoeveel plaatsen je naar rechts of naar links moet.
z-co÷rdinaat: Co÷rdinaat 3 geeft aan hoeveel plaatsen je naar boven of naar beneden moet.

Voorbeeld 1:  Stel punt P1 is aangegeven met co÷rdinaten P1(7, 2, 8);
Dat betekent vanuit de O(0, 0, 0) eerst 7 stappen over de X-as naar voren.
Daarna 2 stappen over de Y-as naar rechts.
Tenslotte 8 stappen over de Z-as omhoog.
Punt P1 is daarmee bereikt.

Voorbeeld 2:  Bij negatieve co÷rdinaten is de te volgen richting tegenovergesteld van de standaardrichting.
Stel punt P2 is aangegeven met co÷rdinaten P2(-7, -2, -8);
Dat betekent vanuit de O(0, 0, 0) eerst 7 stappen over de X-as naar achteren.
Daarna 2 stappen over de Y-as naar links.
Tenslotte 8 stappen over de Z-as omlaag.
Punt P2 is daarmee bereikt.

Plaatsbepaling m.b.v. snijpunten van lijnen: 

In een Oxy-assenstelsel kun je met 2 co÷rdinaten een plaats in een plat vlak aangeven met (afstand, richting).
In een Oxyz-assenstelsel kun je met 3 co÷rdinaten een plaats in de ruimte aangeven met (afstand, richting, hoogte).
Om in de ruimte elk punt te voorzien van co÷rdinaten gebruiken we dan drie co÷rdinaatassen die loodrecht op elkaar staan.  Het snijpunt van de drie assen heet weer de Oorsprong en heeft als co÷rdinaten O(0, 0, 0).

Elk punt in de ruimte wordt gegeven door drie co÷rdinaten.  Naast een x-co÷rdinaat en een y-co÷rdinaat is er een derde co÷rdinaat nodig om de hoogte van een ruimtefiguur aan te geven: de z-co÷rdinaat.

Er is een vaste volgorde om een punt in de ruimte aan te geven.  Co÷rdinaten in de ruimte worden geschreven in de volgorde (x, y, z).
Notatie co÷rdinaten:  De co÷rdinaten staan altijd tussen haakjes en gescheiden door een komma.  Als het punt een naam heeft (vaak een hoofdletter), dan wordt deze direct voor het eerste haakje geschreven.  Tussen de hoofdletter en eerste haakje horen geen andere tekens te staan.

Net als bij een vlak assenstelsel begin je in de Oorsprong.  Punt O ligt op het snijpunt van de X-as, de Y-as en de Z-as  (Merk op dat de X-as en de Y-as anders lopen dan in een vlak assenstelsel.  Beide assen gebruik je om een punt op de bodem van het ruimtefiguur te bepalen.  De Z-as gebruik je om de hoogte van een ruimtefiguur aan te geven).

Vanuit punt O volg je eerst de X-as voor de voorwaartse (of achterwaartse-) verplaatsing,
daarna de Y-as voor de zijwaartse verplaatsing (naar links of rechts) en tenslotte de Z-as voor de verticale verplaatsing (hoogte of diepte).
Om de co÷rdinaten van het figuur hieronder te vinden, loop je altijd vanuit O eerst naar voren, dan naar rechts en tenslotte naar boven.

Het rode punt P(2, 6, 4) kun je zo vinden:
1)  Begin in punt O en ga 2 plaatsen naar voren,
2)  Ga daarna zes stappen naar rechts,
3)  Ga tenslotte 4 stappen omhoog.

Ga na dat de co÷rdinaten van punt A (3, 0, 0) zijn.
Controleer zo ook de volgende co÷rdinaten: C   ?  ,  E   ?  ,  F   ?   en H   ? 

 Valkuilen bij deze oefeningen zijn vaak de verwisseling van de assen en een onjuiste notatie van de co÷rdinaten.

Punten in de ruimte waarvan alle co÷rdinaten geheel zijn, noemen we roosterpunten.
Net als in het platte vlak zou je in de ruimte met een rooster kunnen werken, maar dat gaat grafisch vaak ten koste van de duidelijkheid.

COÍRDINATEN OP DE WERELDBOL

Met een Oxy-assenstelsel kun je enkel een plaats in het platte vlak vastleggen.
Voor plaatsbepaling op de aarde (een bol) heb je een ander co÷rdinatenstelsel (referentiestelsel) nodig.

 

De aarde is een bol die om een 'verticale' as draait.  Aan de uiteinden van die as zijn de Noordpool en de Zuidpool.
Als je de aarde snijdt met een vlak loodrecht op die as, is de doorsnede een horizontale breedtecirkel of parallel (parallel aan de evenaar).
De grootste breedtecirkel is de evenaar (equator).  Het vlak door de evenaar (equatorvlak) gaat door het middelpunt van de aarde en deelt de aarde als het ware in twee delen; een Noordelijk halfrond en een Zuidelijk halfrond.

Als je de aarde snijdt met een vlak waarin de aardas ligt, krijg je een verticale meridiaan of lengtecirkel.   Alle meridianen zijn grootcirkels.  Dat zijn cirkels (op het aardoppervlak) waarvan het middelpunt samenvalt met het middelpunt van de aarde.  Grootcirkels zijn de grootste cirkels die je op het aardoppervlak kunt maken; hun straal is gelijk aan de straal van de aarde.
Met behulp van de breedtecirkels en de lengtecirkels kun je elk punt op aarde met twee geografische co÷rdinaten bepalen.

De eerste co÷rdinaat (noorderbreedte of zuiderbreedte) geeft aan op welke breedtecirkel het punt ligt.  Er wordt gerekend vanaf de evenaar.  De evenaar heeft dus de breedtegraad nul.
De tweede co÷rdinaat (westerlengte of oosterlengte) geeft aan op welke meridiaan het punt ligt.  Als nulmeridiaan is gekozen de meridiaan door het Engelse plaatsje Greenwich vlak bij Londen (GMT = Greenwich Mean Time).

De beide co÷rdinaten worden uitgedrukt in graden, minuten en seconden; het zijn dus eigenlijk hoeken.
De afstand tussen de graden () in worden minuten (') genoemd.
Een graad is dus in te delen in 60 minuten.  De minuut is tenslotte nog in te delen in 60 seconden ('').

 

G.P.S. (Global Positioning System): Tegenwoordig is het met behulp van GPS mogelijk om direct te bepalen waar je je op aarde bevindt.  Global positioning system (gps) is de commerciŰle naam voor een wereldwijd satellietplaatsbepalingssysteem dat vanaf 1967 werd ontwikkeld voor gebruik door de strijdkrachten van de Verenigde Staten.
De geografische co÷rdinaten van locatie Zamenhof van het Comenius College te Leeuwarden zijn:

N 53 12' 34.4'', E 5 48' 56.6'' (N = NoorderBreedte (North Latitude), E = OosterLengte (= Eastern Longitude)

(Nederlandse notatie:   53░ 12' 34.4'' NB,  5░ 48' 56.6'' OL)

Aan deze getallen kun je zien dat de verbindingslijn van de Zamenhof met het middelpunt van de aarde
een hoek van ruim 53 maakt met het equatorvlak en dat het meridiaanvlak door de Zamenhof ruim 5 oostelijker ligt van de nulmeridiaan.

Internettip:  Open de website www.GPScoordinaten.nl en bepaal de exacte GPS-co÷rdinaten van je woonhuis / ingang van school of een andere voor jou belangrijke plaats.  Zoom verder in op de kaart tot je de gele ballon precies op je woonhuis kunt zetten.  Boven de kaart zie je in het vak dan de exacte co÷rdinaten en de hoogte van de gemarkeerde plaats.
Als jij de GPS-co÷rdinaten (Engelse notatie) intypt in de zoekbalk van Google of Google Maps krijg je ook de juiste bestemming.

ZOEKOPDRACHT:
Bepaal met de hulp van de gegevens onder de blauwe balk het exacte adres van de aangegeven locatie;
vermeld zowel de straat als de woonplaats.

 

Meten:

Kompasroos:  Leg het kleine 'rondje' van het midden van de kompasroos op het bedoelde co÷rdinaat ( jij kijkt dan als het ware door een vizier, dus dˇˇr het rondje)
Zorg ervoor dat de 'noordpijl' van de kompasroos naar boven wijst (of in dezelfde richting wijst van de windroos op het kaartje)

Geodriehoek:  Leg het streepje van het midden van de geodriehoek tegen de bedoelde co÷rdinaat (LET OP: hier moet je dus NIET door een rondje kijken!!  Vaak leggen leerlingen het cijfer 'nul' als een soort vizier op de bedoelde co÷rdinaat)
Zorg ervoor dat de de geodriehoek verticaal ligt en naar boven wijst (of in dezelfde richting wijst van de windroos op het kaartje).  De koershoek bepaal je dan door met de klok mee te meten

Co÷rdinaten:  Als de naam of de letter van een roosterpunt bekend is, dan deze ook bij de koershoek of het co÷rdinaat noteren
Zet de juiste hoofdletter bij de co÷rdinaten.  Co÷rdinaten horen tussen haakjes geplaatst te worden

Notatie:  Co÷rdinaten en kaartvierkanten met een hoofdletter aangeven
Aardrijkskundige namen met een hoofdletter schrijven
Zet opsommingstekens (komma's) tussen meerdere antwoorden (bijv. kaartvierkanten E2, D2, F2 en F3)