Kijk en vergelijk ...,
maar vergelijk geen appels met peren.

Quote: "De minst dure manier om gelukkig te zijn
bestaat erin geen vergelijkingen te maken." (K. Boullart)

Applets

 

 

 

 

 

 

 

 

 

--

Oefenopgaven

gelijksoortige termen

Waarmakers

 

LETTERREKENEN

Letterrekenen

Letterrekenen

 

Haakjes wegwerken

Vermenigvuldigen met tabellen

Enkele haakjes wegwerken

Dubbele haakjes wegwerken

Haakjes wegwerken; oppervlaktemodel

Haakjes wegwerken; tabelsommen

 

Grafieken

Pijlenketting

Grafieken tekenen

Grafieken

 

Bordjesmethode

Bordjesmanier  (formule zelf invoeren?) 

Bordjesmethode 1 (ggb) (random)  

Bordjesmethode 2 ggb) (random)

Bordjesmethode 3 ggb) (random)

 

allerlei

 Lineaire vergelijkingen

Vergelijken

Vergelijkingen

Vergelijkingen oplossen

Vergelijkingen oplossen (inloggen als gast)

<Oefenmateriaal>, <Vergelijkingen en ongelijkheden>, <Lineaire vergelijkingen oefenen> , ... )

Pijlenketting

 

Balansmethode

Eenvoudige vergelijkingen

 Simpele vergelijkingen oplossen

Balansmethode 1  (strategie)

Balansmethode 2   (oefenen, 5 niveau's)

Balansmethode 3   (toets, 5 niveau's)

Balansmethode 4

Balansmethode 5   (random, met tussenstappen)

Balansmethode 6    (random)

Balansmethode  7 

Balansmethode 8 (e)

Balansmethode 9   (e)

Vergelijking oplossen (e)  4 |  5  |  6

Vergelijkingen oplossen (e)

 

Inklemmen

 

PRINTS

Extra oefeningen letterrekenen (pdf)

Extra Oefeningen Balansmethode (pdf)

Letterrekenen (Wiskunde zonder boek)

 

Kwadratische vergelijkingen

Kwadratische vergelijken ((5 niveau's met score)

Toets kwadratisch vergelijken  (6 niveau's)

 

Excel

Bordjesmanier-1

Balansmanier-2

Balansmanier-3

 

hot potatoes

Vergelijkingen oplossen

Meer ..

Uitleg en demo

you tube

lineaire vergelijkingen met haakjes

enkele haakjes wegwerken (huiswerk tv)

dubbele haakjes wegwerken (huiswerk tv)

snijpunt van 2 lijnen

snijpunt van grafieken

snijpunten berekenen van lineaire functies

balansmethode (huiswerk tv)

vergelijkingen oplossen met balansmethode

lineaire vergelijkingen; de balansmethode 1

lineaire vergelijkingen; de balansmethode 2

lineaire vergelijkingen; de balansmethode 3

weegschaal-/balansmethode

weegschaalmethode

 

Vergelijkingen met een term van x in het linker- en rechterlid

Eenvoudige vergelijkingen met breuken

Complexe vergelijkingen met breuken (VWO)

Stappenplan 1: Vergelijkingen met haakjes

 

vergelijkingen opl. door inklemmen  (huiswerk tv)

kwadratische vergelijkingen oplossen (huiswerk tv)

vergelijkingen oplossen (YouTube verzamelpagina)

Powerpoint

bordjesmanier  

weegschaalmethode

weegschaalmethode

balansmethode

vergelijkingen oplossen

lineaire formules

lijn opstellen

som- en verschilformules

balansmethode

vergelijkingen toepassen

moderne wiskunde

gelijkwaardige formules

uitkomst 2 formules vergelijken

inklemmen uitkomst bekend

inklemmen: grafiek en lijn 1

inklemmen: grafiek en lijn 2

allerlei

vergelijkingen

balansmethode

balansmethode

vergelijkingen oplossen

balansmanier

slim leren vergelijkingen oplossen

PDF

lineaire formules

lijn opstellen

som- en verschilformules

balansmethode

vergelijkingen toepassen

 

Praktijk

Suggesties voor pass/kkende inhoud zijn welkom!

KUNNEN  /  VAARDIGHEDEN

- Letterformules korter schrijven

- Terugrekenen met een rekenpijl of omgekeerde pijlenketting (zie: Rekenpijl en pijlenketting)

- Vergelijkingen oplossen door aflezen snijpunt grafieken

- Vergelijkingen oplossen
        met behulp van een omgekeerde rekenpijl
        met een omgekeerde pijlenketting
        met de bordjesmanier
        met de weegschaal-/balansmethode
        d.m.v. inklemmen

- Ongelijkheden oplossen

KENNEN  /  BEGRIPPEN  /  TAGS

afkorten  |  korter schrijven  |  letterformule  | 

gelijksoortige termen  |  ongelijksoortige termen  |  ongelijkheid  |  voorrangsregels rekenen  |

pijlenketting  |  omgekeerde pijlenketting  |

vergelijking  |  vergelijking oplossen  |

bordjesmanier  |  balans  |  balansmanier  |  balansmethode  |  oplossing  |  omslagpunt

Geogebra

Bordjesmethode 1 (ggb) (random)  

Bordjesmethode 2 ggb) (random)

Bordjesmethode 3 ggb) (random)

Formule:     Een formule is een verkorte rekenopdracht met variabelen
en bewerkingstekens.  Een rekenregel kan verkort zijn tot
een woordformule of tot een letterformule.
Vaak wordt dan ook het 'keerteken' weggelaten.

REKENREGEL:   De reparatiekosten bestaan uit

€30,-- voorrijkosten en €20,-- per uur werkloon.

WOORDFORMULE:   kosten = 30  +  aantal uur werkloon keer 20

LETTERFORMULE:          k    = 30  +   20 w

 

 

 

Variabelen:   Als je niet weet hoe groot een getal is zet je bij wiskunde vaak een letter in plaats van dat getal. Letters die je in de plaats zet van getallen noem je variabelen.  Variabelen in een formule kunnen vervangen worden door verschillende getallen zodat je er mee kunt rekenen als met gewone getallen.
Variabelen kunnen variëren (= veranderen) van waarde en worden daarom wel 'onbekende' of 'veranderlijke' genoemd.
In de bovenstaande formules zijn kosten (k) en werkloon per uur (w) de variabelen.
Uitdrukkingen met letters korter schrijven noemen we herleiden.

“Heinz Sandwich Spread!   Voor uw broodnodige variatie”

“Lekker fris, lekker anders!”   (reclameslogan uit 1972)

Algebra:         Deel van de wiskunde die zich bezighoudt met de betrekkingen van door letters en tekens aangeduide grootheden ("letterrekenen").  In de algebra worden getallen voorgesteld door letters en bestaan er allerlei regels die zeggen hoe je met die letters moet rekenen.
Omstreeks het jaar 820 schreef de wiskundige Al-Chwarizmi een boek over het rekenen met letters: hisab al-djabr wa al-muqabala (Arabisch: حساب الجبر و المقابلة).  Het woord 'al-djabr' verbasterde in het Westen tot het het woord 'algebra'

Algoritme:     Een algoritme is een stappenplan / rekenschema volgens een vast patroon om een bepaald probleem op te lossen.
Deze eindige reeks van vaste handelingen of van logische opeenvolgende stappen zijn bedoeld om
vanuit een gegeven begintoestand tot een bepaald doel te leiden, of om bepaalde taak uit te voeren.

Lineair verband:  Bij een lineair verband is er sprake van een gelijke/regelmatige toe- of afname.
Een recht evenredig verband is een lineair verband die door de Oorsprong gaat.

Lineaire formules:  Een lineaire formule heeft altijd de vorm van : y = ax + b.  Hierin is a het hellingsgetal / richtingscoëfficent of het stijg- of daalgetal.  De letter b geeft dan het startgetal / begingetal aan.

Vergelijken:  Bij vergelijken vergelijk je het linkerlid (wat links van het =-teken staat) met het rechterlid (wat rechts van het =-teken staat)
Voorbeelden:  4a + 2 = 18 ;     5k + 3 = 4 – 8k ;     3x = 2x + 4x + 12

 

Vergelijkingen oplossen: Bij het oplossen van lineaire vergelijkingen is het verstandig te werken volgens een vast patroon.  Hiermee wordt de kans op fouten verminderd.  Bovendien is het aanleren van een vast stappenplan handig om later lastiger kwesties op te lossen.  Daarnaast is het voor anderen duidelijker te volgen hoe de oplossing tot stand is gekomen.
Voor de overzichtelijkheid is het belangrijk de tussenstappen recht onder elkaar uit te werken

Eindcontrole haakjes wegwerken: Na het wegwerken van de haakjes uit een formule, moet je altijd controleren of het goed is gedaan.  Dat doe je door in de BEGINformule een voorbeeldgetal voor de variabele (letter) in te vullen.  Neem daarvoor een willekeurig getal van tenminste 2 cijfers.  Je kunt handig hoofdrekenen met een eenvoudig getal, maar zeker het getal 'nul' is veelal ongeschikt om te gebruiken!
Als het klopt voor bijvoorbeeld het getal 2.5 dan klopt het voor alle getallen (uitgezonderd uitzonderlijke gevallen).

voorbeeld:

beginformule:            y = 6(x-3)

haakjes wegwerken:   y = 6x -18

controleren of  y = 6(x-3) gelijkwaardig is met y = 6x - 18

2,5 invullen:        y = 6*( 2,5 - 3)   <=>   y = 6*2,5 - 18

berekenen:             y = 6*-0,5 = -3   <=>   y = 15 - 18 = -3

conclusie: beide formules geven bij invoer van bijvoorbeeld 2,5 het getal -3 als antwoord.
Beide oplossingen zijn gelijk, dus klopt het dat de formule zonder haakjes gelijkwaardig is aan de formule met haakjes.

Vergelijkingen oplossen:  Bij het oplossen van vergelijkingen kunnen we werken met een stappenplan om de kans op fouten te verminderen.  Hieronder staan twee verschillende stappenplannen om lineaire vergelijkingen op te lossen.

Stappenschema bordjesmanier:

1)  Overnemen:  De hele vergelijking letterlijk overnemen

2)  Herschrijven:  Werk eventuele haakjes weg en maak de vergelijking korter door gelijksoortige termen samen te trekken
Zorg dat er slechts één onbekende (variabele) in de vergelijking voorkomt

3)  Leg een bordje op de 'onbekende'
Bedek de 'onbekende-combinatie' als er meerdere bewerkingen (* / : / + / -) in de vergelijking voorkomen.
Het bordje komt dan op de combinatie die het eerste komt in de 'voorrangsregel-rekenen'

4)  Wat je bedekt ...  schrijf je er recht onder over
Zet daarbij de 'gelijk-tekens' ('=-teken') steeds recht onder de vorige (werk overzichtelijk)

5)  Bereken wat op het bordje moet staan
Bereken de stipsom op dezelfde manier als vroeger geleerd op de  basischool;
je kunt ook rekenen met een omgekeerde rekenpijl ('terugberekening').
Schrijf het berekende (tussen)antwoord achter het '=-teken'

6)  Herhaal, indien nodig, de stappen 3 t/m 5

7)  Controleer je eindantwoord door deze in de beginvergelijking in te vullen; klopt het?

Bordjesmanier:  Deze manier om een vergelijking op te lossen is alleen mogelijk als er slechts één variabele in de vergelijking voorkomt;  òf vóór het is-gelijk-teken òf achter het is-gelijk-teken.
Letters op links; getallen op rechts:  Probeer volgens een vast patroon er naar toe werken dat de onbekende / de variabele letter (bijv. 1a, 1b, x, a, b of k enz.) aan de linkerkant van het =-teken komt te staan.
Zorg dat de 'losse getallen' (de eenheden) aan de rechterkant van het =-teken komen te staan.
De oplossing kan er dan als volgt uitzien: a = 3  of  1b = 3  of  x = 3, enz.

Stappenschema balansmanier:

1)  Overnemen:
De hele vergelijking letterlijk overnemen (let op notatie van hoofd- en kleine letters)

2)  Herschrijven (indien nodig):
Werk eventuele haakjes weg en maak de vergelijking korter door gelijksoortige termen samen te trekken

3)  Oplossen met tussenstappen:
- zorg dat de =-tekens recht onder elkaar komen te staan
- zorg dat alle lettercombinaties (variabelen) links van het '=-teken' komen te staan
- zorg dat alle cijfers ('losse getallen') aan de rechterkant van het = - teken komen te staan
-zorg dat je aan de linkerkant 1 x een letter hebt staan. bv. x (1x),  a (1a),  b of z, enz...

4)  Controle:
Controleer je eindantwoord door deze in de beginvergelijking in te vullen; klopt het?

Balansmethode:  Bij deze methode is het belangrijk steeds aan beide zijden van het =-teken dezelfde bewerking uit te voeren.
Wat je aan de ene kant van de weegschaal doet, moet ook aan de andere kant gedaan worden om
de weegschaal in balans te houden.
Zeker in de aanleerfase is het verstandig elke tussenstap met een verticale pijl(en) aan te geven welke bewerking je hebt uitgevoerd.  Later kunnen deze hulppijlen weggelaten worden.
Verschillende methoden geven verschillende manieren aan.  Overleg ruim voor de toets of de door jou gekozen manier voldoet.

Voorbeeld vergelijkingen oplossen:

- overnemen

- herschrijven

- tussenstap(pen)

 

 

 

- controle

 

 

2(2b + 4) = 6b - 2

4b  +  8   = 6b - 2

-2b      = -10

     2b = 10

     b = 5

 

2(2*5+4) = 6*5 - 2

 2  *  14   =    30 - 2

               28 = 28; klopt !

Notatie:           Verwissel geen gewone letters met hoofdletters in een letterformule of vergelijking

Overnemen:    Neem steeds eerst de HELE vergelijking letterlijk over.
Mogelijk de vergelijking daarna herschrijven zonder haakjes en/of breuken.

Uitwerken:      Schrijf de gemaakte tussenstappen recht onder elkaar bij het oplossen van een vergelijking
(zeker de '=-tekens' kunnen (tevoren alvast) recht onder elkaar geschreven worden)

Oplossing:      Bij de oplossing staat de variabele links van het '= teken' en het eindantwoord rechts (bijv. t = 7, h ≈ 4,21)
De notatie 7 = t is dus niet correct

Keerteken:     Bestudeer de volgende afspraken over de notatie van vergelijkingen; een aantal hiervan zijn al aan de orde geweest.
Het gebruik van het 'sterretje'( * ) als vervangend teken voor het keer-teken is tijdens de oefeningen met het softwareprogramma Excell geoefend.

1*p = p        -1*p = -p        3*p = 3p        p*3 = 3p        p*q = pq        p + -q = p - q
volgorde: eerst + of -, dan cijfers ,daarna letters: dus -2xy maar niet -x2y en al helemaal niet x-2y

Voorrangsregel rekenen:  Let bij het oplossen van een vergelijking op de juiste volgorde van de berekeningen;
de voorste bewerking moet niet altijd als eerste uitgevoerd worden.
Haakjes    >    Machtverheffen / Worteltrekken    >    Vermenigvuldigen / Delen    >    Optellen / Aftrekken
(de / betekent dat de beide operators in gelijke rang zijn; ze worden in dat geval dan in volgorde van links naar rechts uitgevoerd)

DUS:    Eerst de Haakjes,
dan  ?                                Machtsverheffen en Worteltrekken,
dan  ?                                   Vermenigvuldigen en Delen
en tenslotte                                Optellen en Aftrekken
Ezelsbruggetje:    Hoe Moeten Wij Van Die Onvoldoende Afkomen?