Oefenopgaven
KUNNEN /
VAARDIGHEDEN
- Voorkennis:
Verhoudingen,
Rekenpijl en pijlenketting,
Grafieken
- Verhoudingstabellen:
Verhoudingstabellen
herkennen, Rekenen via de 1
- Procenten: Percentages
berekenen,
Omrekenen van procenten naar aantallen
Vloeiende kromme: Grafieken die NIET met een liniaal zijn
getekend zoals op de afbeelding hiernaast;
worden vloeiende kromme genoemd.
De grafieklijnen zijn NIET recht, maar zo uit de (losse) hand getekend.
Uit de hand tekenen is een tekentechniek zonder hulpmiddelen.
De grafieklijn bij ieder coördinaat is NIET hoekig, maar vloeiend gerond.
Denk hierbij aan een vrachtwagenchauffeur die de bocht niet hoekig neemt maar
eerst iets uitzwenkt en de bocht bovendien ruim zal nemen. Toppen en dalen van
vloeiende krommen en parabolen mogen dus niet scherp zijn, maar vloeiend
gerond
Let op: een schets, zo uit de losse pols getekend (zonder gebruik van
geo en dergelijke),
kan wel een rechte grafieklijn voorstellen.
Lineair verband: Bij een lineair verband, heb je een gelijke (regelmatige) toename of afname.
De grafiek bij een lineair verband is altijd kaarsrecht en
hoort daarom altijd
met een liniaal/geo getekend.
Een recht evenredig verband is een lineair verband waarvan de grafiek door
de Oorsprong gaat.
Lineaire vergelijking: De standaardvorm van een lineaire (eerstgraads)
vergelijking heeft altijd de vorm y = ax +
b
Hierin is a het hellingsgetal en b het startgetal. Dus:
y = hellingsgetal * x + startgetal
Een eerstegraads-vergelijking hoeft niet altijd in de standaardvorm te
staan. Zo kunnen we de vergelijking y = 4x + 5 ook schrijven als:
y = 5 + 4x | 4x + 5 = y | 4x - y = 5 | y -
4x - 5 = 0 | 3y = 12x + 15 | enz. ...
Bij een recht evenredig verband ligt dat snijpunt in de Oorsprong.
Het startgetal is dan gelijk aan 0,
dus b = 0
De formule is dus altijd van de vorm y = ax + 0
of korter: y = ax
Lineaire tabel (formule maken bij een tabel)
In een tabel bij een lineair of recht evenredig verband kan je
de toe- of afname gemakkelijk onder de tabel zichtbaar maken, maar let er op dat ook de
bovenste rij
van de tabel de toename regelmatig is.
Bij een recht evenredig verband staat in de tabel altijd onder x = 0 ook y = 0.
Bij een lineair verband hoort een verhoudingstabel.
Voorbeeld:
In de tabel hierboven is er een toename van +3 voor elke x + 1.
Het hellingsgetal is daarom 3. Onder x = 0 kan je aflezen dat het startgetal
6 is.
De lineaire formule die bij deze tabel hoort is daarom y = 3x + 6
Lineaire grafiek: een lineaire
grafiek is altijd kaarsrecht en teken je daarom met liniaal
of geodriehoek.
evenwijdige lineair stijgende grafieken,
evenwijdige lineair dalende grafieken
en de groene grafieklijn is constant
Hoe maak je een grafiek bij een eerstegraads formule?
1)
Maak eerst een korte tabel
en vul de gegevens in; vergeet niet erbij te vermelden wat de getallen
voorstellen
(Voor tekenen van een een rechte lijn zijn
twee punten
afdoende, maar bereken ter controle altijd een derde punt!)
2)
Teken een
assenstelsel,
zet bij de assen wat de getallen voorstellen
3)
Zet de gegevens van de tabel in het assenstelsel;
zet kleine punten
op de gegeven coördinaten
4)
Verbind de punten
met een lijn (alleen een
puntengrafiek
bestaat uit
losse punten)
Startgetal / begingetal
formule:
In de woordformule bedrag in €
= 15 +
7,50 x tijd in uren is 15 het vaste bedrag;
het vaste bedrag is altijd het startgetal of begingetal
Het startgetal vind je in een formule altijd bij het plus- of min-teken
In de volgende voorbeelden is het
startgetal steeds met rood aangegeven:
het startgetal ligt boven
de Oorsprong: y = 5x + 3
8 + 5 u = b
7m + 5 = k
het startgetal ligt onder
de Oorsprong: y = 5 x - 3
- 8 + 5 u = b
7m - 5 = k
tabel:
Het startgetal kun je in een regelmatige tabel onder de
nul vinden. Soms moet je de tabel langer maken om de uitkomst onder de
nul af te lezen.
Let op; de woorden start en begin zijn misleidend; het getal hoeft niet persé
aan het begin van een tabel te staan!
grafiek: Het startgetal van een lineaire grafiek vind je bij het snijpunt van
de grafiek met de verticale as (y-as).
Het startgetal is dan de
y-coördinaat
van het snijpunt van de grafiek met de
y-as
De grafiek kan zowel boven als onder de Oorsprong de verticale as snijden;
het startgetal kan dan ook zowel boven als onder de Oorsprong op de y-as liggen.
hellingsgetal / stijggetal
/ daalgetal / richtingscoëfficiënt
formule: In de woordformule bedrag in € =
15 + 7,50
x tijd in uren is 7,50 het hellingsgetal
(ook
wel
begingetal
of
richtingscoëfficiënt
genoemd).
De tijd in uren zijn variabel / veranderlijk. Het getal bij de
variabele invoer is altijd het hellingsgetal.
Het hellingsgetal vind je in een lineaire formule altijd bij het 'keer'-teken
In de volgende voorbeelden is het
hellingsgetal steeds met rood aangegeven:
met een positief hellingsgetal
is de grafiek stijgend: y = 5x
+ 3
8 + 5 x u = b
7*m + 5 = k
met een negatief hellingsgetal
is de grafiek dalend: y = -5
x - 3
-8 + -5 x u = b
-7*m - 5 = k
tabel: Het hellingsgetal kun je bij een regelmatige tabel bij de pijl(en) onder
de tabel die de regelmatige toename/afname aangeven.
Het vaste getal dat bij de pijlen onder een tabel dat aangeeft dat er sprake
is van STEEDS hetzelfde getal erbij/eraf, is het hellingsgetal.
Let op; controleer altijd ook de bovenkant van de tabel of deze regelmatig is;
check ook wat dan de stapgrootte is. Alleen bij stapgrootte 1 kun
je het getal meteen als hellingsgetal aanduiden. Het hellingsgetal is
dan ook de toe- of afname bij opeenvolgende getallen; dus bij stapjes
van 1
grafiek: Het hellingsgetal van een lineaire grafiek vind je door uit te zoeken wat de
toename is bij elke stap naar rechts.
* Bij
toename
is het hellingsgetal
positief;
de grafiek is dan een stijgende lijn.
* Bij een
afname
(negatieve toename) is het hellingsgetal
negatief
en daalt de grafiek
Grafieken met hetzelfde hellingsgetal zijn
evenwijdig.
Bij een
horizontale grafieklijn
is de toe- of afname steeds 0; het hellingsgetal is dan ook gelijk aan 0.
Dergelijke
horizontale
grafieken heten
constant.
Afkorten: Dit hoofdstuk gebruiken
wij veelvuldig de afkortingen s.g. (startgetal) en h.g. (hellingsgetal);
dat scheelt schrijftijd!
Echter, dit zijn geen officiële afkortingen die
ook in het woordenboek voorkomen. Daarom is het verstandig tijdens een toets/examen
het bedoelde woord toch maar voluit te schrijven bij de formulering van het eindantwoord.
Bovendien voorkom je verwisseling tussen startgetal (sg) met
stijggetal (sg).
Een betere manier van afkorten is door middel van de eerste lettergreep
gevolgd door één of meerdere letters; bijv.:
hellingsgetal wordt dan hell.g. in plaats van h.g.
startgetal wordt dan startg. in plaats van
s.g.
daalgetal wordt dan daalg. in plaats van d.g.
stijggetal wordt dan stijgg. in plaats van
s.g.
RC = richtingscoëfficiënt (ook wel RICO)