Elke waarheid heeft vier hoeken.
Als leraar zal ik je een hoek geven,
het is aan jou om de andere drie te vinden.
(Confucius Chinees filosoof 551 v. C. - 479 v. C.)

UITLEG en DEMO

Moderne wiskunde

Tangens - Hoeken berekenen

Zijde berekenen met gegeven hoek en zijde

Hoek berekenen met sinus

Hoek berekenen met 2 gegeven zijden

Oefenen: sin, cos, tan (4 niveau's)

 

You Tube

Wat is goniometrie

Benoemen van zijden

Hoek berekenen met tangens

Hoek berekenen met sinus

Hoek berekenen met cosinus

Helling en tangens

Goniometrie: sin, cos, tan

Zijden berekenen met solcaltoa

Luchtaanzicht - kaart - hoogtelijnen

Hoogtekaarten

Hoogtelijn in driehoek

Hoogtelijnen in een stomphoekige driehoek

Verticale doorsnede hoogtekaart tekenen

Verticale doorsnede landschap

Hoogtelijnen en verticale doorsnede

Tangens

Zijde berekenen met tangens

De tangens van een hoek

Zijde berekenen met tangens

Tangens, sinus en cosinus

Soscastoa, hellingspercentage

Hellingspercentage berekenen

Instructie hellingspercentage

Instructie tangens

Instructie sinus

Instructie cosinus

Instructie goniometrie in de ruimte

Huiswerk-tv

Ezelsbruggetje Solcaltoa

Hoeken berekenen

Sinus

Cosinus

Tangens

SolCalToa

Hoeken berekenen in een driehoek

Hoekberekenen met sinus

 

Meer links

Uitleg goniometrie

Verhoudingen in rechthoekige driehoeken

Sinus

Cosinus

Tangens

Mad(th)solutions verzamelpagina goniometrie

Uitleg Dr. Aart Goniometrie

Index Waddenlab

Wetenschapsforum

Hellingsgraad berekenen (Wikipedia)

Stijgingspercentage berekenen (Quest)

PDF

Goniometrie

POWERPOINT

Goniometrie

Praktijk

Suggesties voor pass/kkende inhoud zijn welkom!

Bereken uw dakhelling
De dakhelling (=hellingshoek) bepaalt mede welke dakvensters gebruikt kunnen worden en welke niet.
VELUX heeft een handige calculator ontwikkeld waarmee op eenvoudige wijze de dakhelling berekend kan worden.

 

A)  Meet de lengte van uw waterpas  cm

B)  Meet de afstand tot dakbeschot  cm

 

De dakhelling bedraagt    graden

    

KUNNEN  /  VAARDIGHEDEN

- Het kunnen berekenen van de tangens van een hoek in een rechthoekige driehoek

- Hoeken berekenen m.b.v. de tangens als de rechthoekszijden gegeven zijn.

- Zijden berekenen in een rechthoekige driehoek met gegeven hoek en zijde

- Hoeken / zijden berekenen in een rechthoekige driehoek met tangens, sinus of cosinus

- Hoeken / zijden berekenen in een ruimtelijk figuur m.b.v. goniometrie

- Zijden berekenen  m.b.v. goniometrie en/of met de stelling van Pythagoras

- Hellingspercentage kunnen berekenen

- Hoogtelijn-methode gebruiken bij berekeningen in driehoeken

- Iso-hoogtelijnen aflezen en hoogteverschillen kunnen tekenen

KENNEN  /  BEGRIPPEN  /  TAGS

driehoeken:  rechthoekige driehoek  |  soorten driehoeken  |  hoekensom driehoek  |  gelijkvormig  | 

hoeken: rechte hoek  |  haaks  |  scherpe hoek  |  stompe hoek  | 

zijden:  aanliggende rechthoekszijde  |   overstaande rhz  |  langste zijde  |  hypotenusa  |  Pythagoras

gonio:  sinus  |  cosinus  |  tangens  |  SOLCALTOA  | 

helling:  hellingsgetal  |  hellingshoek  |  hellingspercentage

hoogtelijnen:  Iso-hoogtelijn  hoogtelijnen  |  hulplijnen

Applets

Test je zelf

Gonio-oefeningen 

Tangensoefeningen (Hot Pot)

Oefenopgaven

Moderne wiskunde

Zijde berekenen

Hoek berekenen met sinus

Hoek berekenen

Oefenen sin/cos/tan (3 niveau's)

Goniometrie Waddenlab

Gonio-oefeningen H. Reuling

Gonio-oefeningen Maarten Abdul

 

Excel

Goniometrie

GEOGEBRA

Hellingshoeken

Lamplicht  (lengte schaduw tekenen & berekenen)

Zonnestralen & evenwijdige lijnen  (verhoudingsgetallen)

Goniometrie

Goniometrie; zijden benoemen

Goniometrische getallen; solcaltoa

Goniometrische getallen2; solcaltoa  (D)

Hoogten berekenen  (tangens berekeningen)

Berekeningen met goniometrie

Solcaltoa oefenen (e)

Goniometrie:  Het werken met tangens, sinus en cosinus noem je goniometrie.
De goniometrie of trigonometrie (Grieks: τρι = drie, γωνια (gonia) = hoek en μετρειν (metrein) = meten) is een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met driehoeken en in het bijzonder de oorspronkelijk op driehoeken gebaseerde goniometrische functies zoals sinus (sin), cosinus (cos) en tangens (tan).
De goniometrie hoort bij de vlakke meetkunde, omdat alle berekeningen gebaseerd zijn op de eigenschappen van gelijkvormige driehoeken.
Goniometrie wordt dan ook wel driehoeksmeting genoemd.

 

 

 

 

Rechthoekige driehoeken:  Bij goniometrie werk je altijd in rechthoekige driehoeken.  In deze driehoeken heb je drie zijden, waarvan twee grenzen aan de rechte hoek; de zogenoemde rechthoekszijden (rhz).

Langste zijde <=> schuine zijde:
De derde zijde is bij een rechthoekige driehoek altijd de langste zijde (lz) (bij Pythagoras: hypothenusa);
- de langste zijde ligt altijd tegenover de haakse hoek
- de langste zijde verbindt beide scherpe hoeken met elkaar.
De schuine zijde hoeft niet pers 'schuin' te zijn maar kan ook verticaal- of horizontaal lopen.  Daarom is 'schuine zijde' geen juiste benaming en kan beter gesproken worden van 'langste zijde'.

Overstaande- / aanliggende rechthoekszijden:
De rechthoekszijde die tegenover de hoek ligt van waaruit je kijkt is de overstaande (rechthoeks)zijde;
=> de zijde die NIET aan de hoek vast zit..
De rechthoekszijde die aan de hoek grenst van waaruit je kijkt is de aanliggende (rechthoeks)zijde;
=> de zijde die WEL aan de hoek vast zit.
 

Vanuit hoek H1 bekeken:

 

 

Vanuit hoek H2 bekeken:

 

 

 

 

Hellingsgetal:     Bij een helling heb je altijd te maken met een horizontale- en een verticale verplaatsing die loodrecht op elkaar staan.

.

Bij iedere helling hoort een hellingshoek.  Hoe groter de hellingshoek, hoe steiler de helling.
Hoe steil een helling is, kun je aangeven met het hellingsgetal.

Het hellingsgetal bereken je door de  hoogte (de verticale verplaatsing) te delen door de  afstand (horizontale verplaatsing).

hellingsgetal =

hoogte

=

toename y

=

∆y

afstand

toename x

∆x

Het hellingsgetal van een hoek wordt ook wel de tangens van een hoek genoemd.

Hellingshoek:       De hoek die een helling maakt met de grond, noem je de hellingshoek.
Een hellingspercentage van 10%, zoals aangegeven op het verkeersbord hiernaast,
betekent dat bij elke meter die je horizontaal aflegt, de weg 0,10 meter (= 10 cm) stijgt.
Over 100 meter zou dat dan 10 meter stijging betekenen.
Bij een stijgingspercentage van 10% is de verhouding tussen de hoogte (h) en de afstand (a) gelijk aan 0,10 (namelijk in dit geval h/a = 10/100 = 0,10).
Met tan-1 (inverse/omgekeerde tangens) vinden we dan een hellingshoek van ongeveer 5,71.59  ≈  6 (doorgaans worden hoeken afgerond op
hele graden)

hoek

1

5

10

20

30

40

50

60

70

80

90

verhouding h / x

0,017

0,087

0,176

0,364

0,577

0,839

1,192

1,732

2,747

5,671

Error

Tangens:           In plaats van het hellingsgetal mag je ook spreken van de tangens (tan).
Zo betekenen de twee uitspraken hieronder hetzelfde:
- het hellingsgetal van 31 is afgerond op n decimaal = 0,6
- de tangens van 31 is afgerond op n decimaal = 0,6 
(tan 31 ≈ 0,6)
Met de tangens kan je berekeningen maken tussen hoek en hellingsgetal.
Met dit hellingsgetal kan je dan een onbekende rechthoekszijde uitrekenen.
Logisch dat bij een rechthoekige driehoek
Pythagoras af en toe om de hoek komt kijken.

Tangens (tan):    De tangens van een hoek is de verhouding tussen overstaande rechthoekszijde en de aanliggende r.h.z.
Je kunt ook zeggen: de tangens is de uitkomst van een deling.
Vanuit hoek A is zijde AB dan de aanliggende r.h.z. van A  en  BC de overstaande r.h.z..

Sinus (sin):          De sinus van een hoek is de verhouding tussen overstaande rechthoekszijde en de langste zijde.
 Vanuit hoek A is zijde BC dan de overstaande r.h.z. A  en  AC de langste zijde.

Cosinus (cos):    De cosinus van een hoek is de verhouding tussen aanliggende rechthoekszijde en de langste zijde.
Vanuit hoek A is zijde AB dan de aanliggende r.h.z. van A  en  AC de langste zijde.

Gelijkvormig:       Twee driehoeken heten gelijkvormig als de n een vergroting is van de ander.  Bij die vergroting blijven de hoeken gelijk; twee driehoeken zijn gelijkvormig als ze gelijke hoeken hebben.
Om aan te tonen dat twee driehoeken gelijkvormig zijn is het voldoende om te bewijzen dat ze twee gelijke hoeken hebben; de derde is dan vanzelf ook gelijk, want de som van de hoeken van een driehoek is altijd 180 (hoekensom ∆ = 180).
Z
owel bij goniometrie als bij Pythagoras wordt uitgegaan van rechthoekige driehoeken.
Twee rechthoekige driehoeken zijn gelijkvormig als ze n scherpe hoek gelijk hebben.

Hoogtelijn:           Een hoogtelijn is een lijn (in een driehoek) vanuit een hoekpunt naar de zijde tegenover die hoek.
De hoogtelijn staat loodrecht op die tegenover liggende zijde.
Bij berekeningen in driehoeken die niet rechthoekig zijn, is het vaak handig om een hoogtelijn te tekenen.
Met die hoogtelijn kun je twee rechthoekige driehoeken maken in een niet-rechthoekige-driehoek.
Door die hoogtelijn ontstaan er twee rechthoekige driehoeken waarin de goniometrische formules en/of de stelling van Pythagoras weer kunt gebruiken.

Goniometrische verhoudingen:  Naast de formules voor de sinus, cosinus en de tangens zijn er ook nog tal van
andere goniometrische verhoudingen, zoals:        tan A = sin A : cos A       of         (sin A)+ (cos A) = 1

sin, cos of tan:      Bij hoekberekeningen in rechthoekige driehoeken moet je vaak eerst beslissen welke goniometrische verhouding je gaat gebruiken.  Let dan goed op de verstrekte gegevens en wat er gevraagd wordt. 
Jouw beslissing is dus afhankelijk van welke zijden of welke hoek de maten bekend zijn.  Door
oefenen krijg je ervaring in het herkennen van de situatie en de manier van oplossen.
Regelmatig moet je ook de 'Stelling van Pythagoras' gebruiken of de regel
'hoekensom driehoek = 180 '

Stappenschema goniometrieberekeningen:
1)  Maak een schets als deze nog niet gegeven is
      en schrijf alle verstrekte gegevens bij de hoeken en lijnstukken.

2)  Kies de juiste 'regel' en schrijf deze op: 

3)  Vul recht onder de 'regel' in wat je weet ...
4)  Reken het gevraagde uit.  Gebruik zo nodig een rekenwolk.

5)  Vergeet niet het eindantwoord duidelijk (apart van de berekening) te formuleren.
Voorbeelduitwerkingen:  tangensuitwerkingen  |  sinusuitwerkingen  |  cosinusuitwerkingen

 

Rekenmachine:   Voor het berekenen van hoeken of zijden met behulp van cos(inus), sin(us) en tan(gens),
zijn de volgende knoppen van de rekenmachine nodig: 

Het is wel belangrijk te controleren of de rekenmachine goed ingesteld staat op graden (eng: degree):
klik achtereenvolgens op <
mode> en stel <D> of  <DEG> in.
Probeer maar eens uit of bij het intoetsen van de hoeken uit de tabel over hellingshoeken de juiste verhouding komt;    dus: tan (10) geeft 0,17633...

                    .

Sommige rekenmachines zetten altijd een haakje ' ( ' achter de sin, cos of de tan.
Zorg dan dat je na het invoeren van de hoekgrootte weer afsluit met een haakje (
) )
Het graden-teken  (-teken) hoef je niet in te vullen op je rekenmachine

De omgekeerde (inverse) bewerking doe je met de shift-knop ; (bij andere rekenmachines
de (second)-knop ).
Als je hierna op de gewone tan-knop drukt krijgt je tan-1 (inverse tan) die boven deze knop vermeld staat.
dus: tan-1 0,17633... geeft dan weer 10
(afgerond)               ( 0,17633 = 10, 00017)

                   

Met sin-1, cos-1 of tan-1 kun je bij een goniometrische verhouding dus de grootte van de hoek berekenen.
tan A = 7/13
A
≈ 28,3 ≈ 28

Wanneer gebruik je nu de tangens en wanneer de shift-tan?
Met het knopje 'tan' kun je van een hoek in hele graden de 'tangens' (= verhouding) uitrekenen.
Met shift-tan reken je de hoek uit in hele graden die hoort bij een 'tangens' (=verhouding).
Kortom: Als je hoek weet gebruik je tan,  en wil je juist de hoek weten dan gebruik je shift-tan.

Ezelsbruggetje:  SOSCASTOA:      S O S !!  Cas geeft de Toa vermoord!
Er zijn verschillende ezelsbruggetjes om de relaties tussen hoeken en zijden te onthouden.
Een geheugensteun om de sinus, cosinus en de tangens te onderscheiden: 
SOLCALTOA

SOL:     Sinus = Overstaande rechthoekszijde / Langste zijde

COL:     Cosinus = Aangrenzende rechthoekszijde / Langste zijde

TOA:     Tangens = Overstaande rechthoekszijde / Aangrenzende rechthoekszijde

SOSCASTOA <=> SOLCALTOA:  De term 'schuine zijde' is eigenlijk niet helemaal juist; er kan beter gesproken worden van 'langste zijde'. 
De langste zijde (lz) van een rechthoekige driehoek ligt altijd tegenover de haakse hoek.

Pythagoras:          Zowel bij goniometrie als bij Pythagoras wordt er veelal gewerkt met rechthoekige driehoeken.
Zorg dat je het eerder geleerde schema bij de Stelling van Pythagoras nog kunt uitvoeren (zie Samenvatting achterin je boek).
'Piet' komt bij dit onderwerp regelmatig om de hoek kijken!

Hoogtelijn:            In veel figuren komt geen rechthoekige driehoek voor.  Je kunt die dan vaak zelf maken door een hulplijn of hoogtelijn te tekenen.  Deze techniek kwam eerder ook bij bij de behandeling van de Stelling van Pythagoras aan de orde.
Ook kun je kijken of er sprake is van symmetrie.

Schetsen:              Het is ALTIJD verstandig een schets te maken bij een talige opdracht.
Probeer dan eerst een rechthoekige driehoek te zoeken.  Als je die vindt, kun je Pythagoras of goniometrie gebruiken.

Uitwerken:            Stappenschema bij het uitwerken van goniometrische opgaven:

1)  Lezen:  Bestudeer de gegevens en lees de opdracht; maak eventueel een situatieschets
    
 (als deze nog niet gegeven is) en zet alle bekende afmetingen en hoekpunten bij de lijnstukken
        (Bij Pythagoras- en goniometrie-opgaven heb je altijd een rechthoekige driehoek nodig)

2)  Formule kiezen:  Gebruik je de sinus, cosinus of tangens?
        Schrijf deze formule beknopt bovenaan de uitwerking

3)  Invullen:  Vul de de verstrekte gegevens in de formule in

4)  Berekenen: Berekenen het gevraagde antwoord. 
       
Gebruik indien nodig de
rekenwolk hiernaast
        Probeer de tussenstappen onder elkaar uit te werken

5)  Eindantwoord beknopt apart formuleren (hoeken worden doorgaans op helen afgerond; lengten worden
      meestal met 2 decimalen nauwkeurig aangegeven; vergeet de juiste eenheid niet)

Ook een eigen stijl van uitwerken dient te voldoen aan de regels en gewoonten van de wiskunde.
Kom tijdig tijdens de lessen vragen of jouw manier goedgekeurd wordt.  Doe dat nooit vlak voor een toets (de foute manier is dan al teveel ingeslepen).  Tijdens een toets vragen is natuurlijk helemaal uit den boze !

Afronden:              Geef het antwoord in n decimaal nauwkeuriger dan de verstrekte gegevens, tenzij anders in de opgave staat aangegeven.
Als er niet wordt aangegeven op hoeveel decimalen je moet afronden, is het volgende dan gebruikelijk:
- Hoeken ronden we doorgaans af op een hele graden.
- Hellingspercentages rond je af op een heel getal.
- Lengten worden meestal op 2 decimalen nauwkeurig afgerond.
- Een tangens rond je meestal af op 3 decimalen.
- Bij de wetenschappelijke notatie gebruik je 'zoveel mogelijk' decimalen in de factor.

Spelling:                sinus (gn sinas!!), cosinus, tangens (gn gedinges of gehannes met tanges),
steil: niet vlak/sterk hellend (een steile berg)  |  glad, niet krullend (steil haar)  |  steil - steiler - steilst
stijl: manier/netjes (stijlvol, stijlloos, stijldansen, stijlkamer)  |  wijze (sportieve stijl, schrijfstijl)  |
        bouwkundige constructie: deurstijl/deurpost, raamstijlen, trapstijlen
TIP: Steile krijgt nit een n erachter (bijv. naamw.).  Het zelfstandige naamwoord stijlen mag niet zonder n!

MEERKEUZE:
Kies bij elke vraag het juiste antwoord tot score 100% is gehaald

 

 

 

 

 

  1)  Driehoek ABC is een 

  2)  De langste zijde is 

  3)  De rechthoekszijden zijn 

  4)  Overstaande r.h.z. vanuit hoek A 

  5)  Aanliggende r.h.z. vanuit

  6)  Tan A = 

  7)  Tan A = 

  8)  Tan C = 

  9)  Sin C = 

10)  Cos C = 

Score: / 10  =  %

                      TANGENS  =  overstaande r.h.z.  :  Aanliggende r.h.z. ( tan = o :  a)

TIP digitaal oefenen:  Werk elke opgave eerst op papier uit!

Situatie 1

Bereken hoek  A

A ≈  

(afronden op hele graden)

Score:/=%

Situatie 2

Bereken de aanliggende zijde

Aanliggende zijde AB cm 

(afronden op 2 decimalen)

Score:/=%

Situatie 3

Bereken de overstaande zijde

Overstaande zijde BC cm 

(afronden op 2 decimalen)

Score:/=%