Rechthoekige driehoeken:  Bij goniometrie werk je altijd in rechthoekige driehoeken.  In deze driehoeken heb je drie zijden, waarvan twee grenzen aan de rechte hoek; de zogenoemde rechthoekszijden (rhz).

 

Langste zijde <=> schuine zijde:
De derde zijde is bij een rechthoekige driehoek altijd de langste zijde (lz) (bij Pythagoras: hypothenusa);
- de langste zijde ligt altijd tegenover de haakse hoek
- de langste zijde verbindt beide scherpe hoeken met elkaar.
De schuine zijde hoeft niet persé 'schuin' te zijn maar kan ook verticaal- of horizontaal lopen.  Daarom is 'schuine zijde' geen juiste benaming en kan beter gesproken worden van 'langste zijde'.

Overstaande- / aanliggende rechthoekszijden:
De rechthoekszijde die tegenover de hoek ligt van waaruit je kijkt is de overstaande (rechthoeks)zijde;
=> de zijde die NIET aan de hoek vast zit..
De rechthoekszijde die aan de hoek grenst van waaruit je kijkt is de aanliggende (rechthoeks)zijde;
=> de zijde die WEL aan de hoek vast zit.
 

Hellingsgetal:     Bij een helling heb je altijd te maken met een horizontale- en een verticale verplaatsing die loodrecht op elkaar staan.

.

Bij iedere helling hoort een hellingshoek.  Hoe groter de hellingshoek, hoe steiler de helling.
Hoe steil een helling is, kun je aangeven met het hellingsgetal.

Het hellingsgetal bereken je door de  hoogte (de verticale verplaatsing) te delen door de  afstand (horizontale verplaatsing).

Het hellingsgetal van een hoek wordt ook wel de tangens van een hoek genoemd.

Tangens:           In plaats van het hellingsgetal mag je ook spreken van de tangens (tan).
Zo betekenen de twee uitspraken hieronder hetzelfde:
- het hellingsgetal van 31° is afgerond op één decimaal = 0,6
- de tangens van 31° is afgerond op één decimaal = 0,6  (tan 31° ≈ 0,6)
Met de tangens kan je berekeningen maken tussen hoek en hellingsgetal.
Met dit hellingsgetal kan je dan een onbekende rechthoekszijde uitrekenen.
Logisch dat bij een rechthoekige driehoek Pythagoras af en toe om de hoek komt kijken.

Tangens (tan):    De tangens van een hoek is de verhouding tussen overstaande rechthoekszijde en de aanliggende r.h.z.
Je kunt ook zeggen: de tangens is de uitkomst van een deling.
Vanuit hoek A is zijde AB dan de aanliggende r.h.z. van ÐA  en  BC de overstaande r.h.z..

Sinus (sin):          De sinus van een hoek is de verhouding tussen overstaande rechthoekszijde en de langste zijde.
 Vanuit hoek A is zijde BC dan de overstaande r.h.z. ÐA  en  AC de langste zijde.

Cosinus (cos):    De cosinus van een hoek is de verhouding tussen aanliggende rechthoekszijde en de langste zijde.
Vanuit hoek A is zijde AB dan de aanliggende r.h.z. van ÐA  en  AC de langste zijde.

Gelijkvormig:       Twee driehoeken heten gelijkvormig als de één een vergroting is van de ander.  Bij die vergroting blijven de hoeken gelijk; twee driehoeken zijn gelijkvormig als ze gelijke hoeken hebben.
Om aan te tonen dat twee driehoeken gelijkvormig zijn is het voldoende om te bewijzen dat ze twee gelijke hoeken hebben; de derde is dan vanzelf ook gelijk, want de som van de hoeken van een driehoek is altijd 180° (hoekensom ∆ = 180
Zowel bij goniometrie als bij Pythagoras wordt uitgegaan van rechthoekige driehoeken.
Twee rechthoekige driehoeken zijn gelijkvormig als ze één scherpe hoek gelijk hebben.

Hoogtelijn:           Een hoogtelijn is een lijn (in een driehoek) vanuit een hoekpunt naar de zijde tegenover die hoek.
De hoogtelijn staat loodrecht op die tegenover liggende zijde.
Bij berekeningen in driehoeken die niet rechthoekig zijn, is het vaak handig om een hoogtelijn te tekenen.
Met die hoogtelijn kun je twee rechthoekige driehoeken maken in een niet-rechthoekige-driehoek.
Door die hoogtelijn ontstaan er twee rechthoekige driehoeken waarin de goniometrische formules en/of de stelling van Pythagoras weer kunt gebruiken.

Goniometrische verhoudingen:  Naast de formules voor de sinus, cosinus en de tangens zijn er ook nog tal van
andere goniometrische verhoudingen, zoals:        tan Ð A = sin Ð A : cos Ð A       of         (sin Ð A)²+ (cos Ð A)² = 1

sin, cos of tan:      Bij hoekberekeningen in rechthoekige driehoeken moet je vaak eerst beslissen welke goniometrische verhouding je gaat gebruiken.  Let dan goed op de verstrekte gegevens en wat er gevraagd wordt. 
Jouw beslissing is dus afhankelijk van welke zijden of welke hoek de maten bekend zijn.  Door oefenen krijg je ervaring in het herkennen van de situatie en de manier van oplossen.
Regelmatig moet je ook de 'Stelling van Pythagoras' gebruiken of de regel 'hoekensom driehoek = 180º '

Stappenschema goniometrieberekeningen:
1)  Maak een schets als deze nog niet gegeven is
      en schrijf alle verstrekte gegevens bij de hoeken en lijnstukken.
2)  Kies de juiste 'regel' en schrijf deze op: 
3)  Vul recht onder de 'regel' in wat je weet ...
4)  Reken het gevraagde uit.  Gebruik zo nodig een rekenwolk.
5)  Vergeet niet het eindantwoord duidelijk (apart van de berekening) te formuleren.
Voorbeelduitwerkingen:  tangensuitwerkingen  |  sinusuitwerkingen  |  cosinusuitwerkingen

Rekenmachine:   Voor het berekenen van hoeken of zijden met behulp van cos(inus), sin(us) en tan(gens),
zijn de volgende knoppen van de rekenmachine nodig: 

Het is wel belangrijk te controleren of de rekenmachine goed ingesteld staat op graden (eng: degree):
klik achtereenvolgens op <mode> en stel <D> of  <DEG> in.
Probeer maar eens uit of bij het intoetsen van de hoeken uit de tabel over hellingshoeken de juiste verhouding komt;    dus: tan (10) geeft 0,17633...

                    .

Sommige rekenmachines zetten altijd een haakje ' ( ' achter de sin, cos of de tan.
Zorg dan dat je na het invoeren van de hoekgrootte weer afsluit met een haakje ( ) )
Het graden-teken  (°-teken) hoef je niet in te vullen op je rekenmachine

De omgekeerde (inverse) bewerking doe je met de shift-knop ; (bij andere rekenmachines
de (second)-knop ).
Als je hierna op de gewone tan-knop drukt krijgt je tan^-1 (inverse tan) die boven deze knop vermeld staat.
dus: tan^-1 0,17633... geeft dan weer 10º (afgerond)               ( 0,17633 = 10, 00017)

                   

Met sin^-1, cos^-1 of tan^-1 kun je bij een goniometrische verhouding dus de grootte van de hoek berekenen.
tan Ð A = 7/13
Ð A ≈ 28,3° ≈ 28°

Wanneer gebruik je nu de tangens en wanneer de shift-tan?
Met het knopje 'tan' kun je van een hoek in hele graden de 'tangens' (= verhouding) uitrekenen.
Met shift-tan reken je de hoek uit in hele graden die hoort bij een 'tangens' (=verhouding).
Kortom: Als je hoek weet gebruik je tan,  en wil je juist de hoek weten dan gebruik je shift-tan.

Ezelsbruggetje:  SOSCASTOA:      S O S !!  Cas geeft de Toa vermoord! 
Er zijn verschillende ezelsbruggetjes om de relaties tussen hoeken en zijden te onthouden.  Een geheugensteun om de sinus, cosinus en de tangens te onderscheiden:  SOLCALTOA

SOL:     Sinus = Overstaande rechthoekszijde / Langste zijde

CAL:     Cosinus = Aangrenzende rechthoekszijde / Langste zijde

TOA:     Tangens = Overstaande rechthoekszijde / Aangrenzende rechthoekszijde

SOSCASTOA <=> SOLCALTOA:  De term 'schuine zijde' is eigenlijk niet helemaal juist; er kan beter gesproken worden van 'langste zijde'. 
De langste zijde (lz) van een rechthoekige driehoek ligt altijd tegenover de haakse hoek.

Pythagoras:   Zowel bij goniometrie als bij Pythagoras wordt er veelal gewerkt met rechthoekige driehoeken.
Zorg dat je het eerder geleerde schema bij de Stelling van Pythagoras nog kunt uitvoeren
'Piet' komt bij dit onderwerp regelmatig om de hoek kijken!

Hoogtelijn:  In veel figuren komt geen rechthoekige driehoek voor.  Je kunt die dan vaak zelf maken door een hulplijn of hoogtelijn te tekenen.  Deze techniek kwam eerder ook bij bij de behandeling van de Stelling van Pythagoras aan de orde.
Ook kun je kijken of er sprake is van symmetrie.

Schetsen:   Het is ALTIJD verstandig een schets te maken bij een talige opdracht.
Probeer dan eerst een rechthoekige driehoek te zoeken.  Als je die vindt, kun je Pythagoras of goniometrie gebruiken.

Uitwerken:            Stappenschema bij het uitwerken van goniometrische opgaven:

1)  Lezen:  Bestudeer de gegevens en lees de opdracht; maak eventueel een situatieschets
      (als deze nog niet gegeven is) en zet alle bekende afmetingen en hoekpunten bij de lijnstukken
        (Bij Pythagoras- en goniometrie-opgaven heb je altijd een rechthoekige driehoek nodig)

2)  Formule kiezen:  Gebruik je de sinus, cosinus of tangens?
        Schrijf deze formule beknopt bovenaan de uitwerking

3)  Invullen:  Vul de de verstrekte gegevens in de formule in

4)  Berekenen: Berekenen het gevraagde antwoord. 
        Gebruik indien nodig de rekenwolk hiernaast
        Probeer de tussenstappen onder elkaar uit te werken

5)  Eindantwoord beknopt apart formuleren (hoeken worden doorgaans op helen afgerond; lengten worden
      meestal met 2 decimalen nauwkeurig aangegeven; vergeet de juiste eenheid niet)

Ook een eigen stijl van uitwerken dient te voldoen aan de regels en gewoonten van de wiskunde.
Kom tijdig tijdens de lessen vragen of jouw manier goedgekeurd wordt.  Doe dat nooit vlak voor een toets (de foute manier is dan al teveel ingeslepen).  Tijdens een toets vragen is natuurlijk helemaal uit den boze !

Afronden:            Geef het antwoord in één decimaal nauwkeuriger dan de verstrekte gegevens, tenzij anders in de opgave staat aangegeven.
Als er niet wordt aangegeven op hoeveel decimalen je moet afronden, is het volgende dan gebruikelijk:
- Hoeken ronden we doorgaans af op een hele graden.
- Hellingspercentages rond je af op een heel getal.
- Lengten worden meestal op 2 decimalen nauwkeurig afgerond.
- Een tangens rond je meestal af op 3 decimalen.
- Bij de wetenschappelijke notatie gebruik je 'zoveel mogelijk' decimalen in de factor.

Spelling:                sinus (géén sinas!!), cosinus, tangens (géén gedinges of gehannes met tanges),
steil: niet vlak/sterk hellend (een steile berg)  |  glad, niet krullend (steil haar)  |  steil - steiler - steilst
stijl: manier/netjes (stijlvol, stijlloos, stijldansen, stijlkamer)  |  wijze (sportieve stijl, schrijfstijl)  |
        bouwkundige constructie: deurstijl/deurpost, raamstijlen, trapstijlen
TIP: Steile krijgt nóóit een n erachter (bijv. naamw.).  Het zelfstandige naamwoord stijlen mag niet zonder n!

MEERKEUZE: Kies bij elke vraag het juiste antwoord tot score 100% is gehaald

1)  Driehoek ABC is een  SOORTEN DRIEHOEKEN willekeurige driehoek rechthoekige driehoek stomphoekige driehoek scherphoekige driehoek gelijkbenige driehoek ongelijkbenige driehoek   2)  De langste zijde is  HYPOTHENUSA zijde AB zijde AC zijde BC   3)  De rechthoekszijden zijn  RECHTHOEKSZIJDEN zijden AB en AC zijden AB en BC zijden AC en BC   4)  Overstaande r.h.z. vanuit hoek A  OVERSTAANDE R.H.Z. zijde AB zijde BC zijde AC   5)  Aanliggende r.h.z. vanuit Ð A  AANLIGGENDE R.H.Z. zijde AB zijde BC zijde AC   6)  Tan Ð A =  SOLCALTOA aanliggende r.h.z. : langste zijde overstaande r.h.z. : langste zijde overstaande r.h.z. : aanliggende zijde overstaande r.h.z. x aanliggende zijde aanliggende r.h.z. x overstaande zijde   7)  Tan Ð A =  SOLCALTOA zijde BC : AC zijde AC : BC zijde BC : AB zijde AB : BC zijde AC : AB   8)  Tan Ð C =  SOLCALTOA zijde BC : AC zijde AC : BC zijde BC : AB zijde AB : BC zijde AC : AB   9)  Sin Ð C =  SOLCALTOA zijde BC : AC zijde AB : AC zijde AC : BC zijde BC : AB zijde AB : BC zijde AC : AB 10)  Cos Ð C =  SOLCALTOA zijde BC : AC zijde AB : AC zijde AC : BC zijde BC : AB zijde AB : BC zijde AC : AB

Score: / 10  =  %

                      TANGENS  =  overstaande r.h.z.  :  Aanliggende r.h.z. ( tan = o :  a)

TIP digitaal oefenen:  Werk elke opgave eerst op papier uit!

Situatie 1 Bereken hoek  A A ≈ °  (afronden op hele graden) Score:/=%

Situatie 2 Bereken de aanliggende zijde Aanliggende zijde AB ≈ cm  (afronden op 2 decimalen) Score:/=%

Situatie 3 Bereken de overstaande zijde Overstaande zijde BC ≈ cm  (afronden op 2 decimalen) Score:/=%