GRONDTAL / exponent:
Het getal dat bij
een macht op de 'grond' / de schrijflijn staat; in 73 is 7 het
grondtal (3 is de exponent).
Bij exponentiële functies is het grondtal altijd een positief reëel getal.
De exponent is
de aanwijzer of het getal dat de macht van een ander getal of
grootheid aanduidt.
In de machtsverheffing 37
is 7 de
exponent (3 is
het grondtal).
Een exponent is dus het getal wat bij een macht(sgetal)
boven staat
(in superscript).
In de wiskunde is een exponent (van het Latijnse exponere:
buiten plaatsen) het aantal malen dat het grondtal in een
machtsverheffing met zichzelf vermenigvuldigd wordt om het resultaat te
verkrijgen.
Voorbeeld A:
54
= 5 * 5 * 5 * 5 = 625. De exponent is in dit voorbeeld 4.
Je vermenigvuldigt 4 keer hetzelfde getal 5 met
zichzelf. |
Voorbeeld B:
45 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4= 1024. In dit voorbeeld is 4 het
grondtal.
Je vermenigvuldigt 5 keer hetzelfde getal 4 met
zichzelf. |
Let op: exponenten worden ook wel met een
^-teken aangegeven; 4^6
is gelijk aan 46
Afhankelijk van het type rekenmachine/programma worden de volgende knoppen
gebruikt om een exponent aan te geven:
Eigenschappen exponentieel verband:
In de tabel hiernaast staan op de
bovenste rij opeenvolgende hele getallen. Er is sprake van een
regelmatige stapgrootte, want bij iedere stap komt er steeds 1 bij.
Ook bij de onderste rij van de tabel is een zekere regelmaat
te herkennen, al valt deze mogelijk minder op.
In de onderste rij zijn de uitkomsten na elke volgende t
steeds met 5 vermenigvuldigd. Dit soort toename heet exponentiële
toename; er is sprake van exponentiële groei.
Als, bij een tabel met regelmatige stapgrootte, steeds dezelfde vermenigvuldiging moet worden gedaan om de volgende waarde te krijgen, is er
sprake van een exponentieel verband.
Het vaste getal
waarmee vermenigvuldigd wordt, heet de groeifactor. Als
de groeifactor groter is dan 1, nemen de getallen in de onderste rij
steeds meer toe. De bijhorende grafiek is 'steeds sneller
stijgend'.
Als de groeifactor tussen de 0 en 1 ligt, spreek je van negatieve
groei; de bijbehorende grafiek is dalend.
Groeifactor: Bij de onderste rij van de tabel hierboven moet je steeds x5 doen
om de volgende waarde te krijgen. Anders gezegd: De hoeveelheid
h wordt elke keer vermenigvuldigd met hetzelfde getal
(groeifactor = 5). De
tabel hoort dus bij een exponentieel verband.
Beginwaarde: In een tabel
van een exponentieel verband kun je de
beginwaarde aflezen onder de 'nul' (in het voorbeeld onder t
= 0; de beginwaarde = 50)
Exponentiële formule: Bij exponentiële groei hoort een
woordformule die er als volgt uitziet:
hoeveelheid =
?
beginhoeveelheid x
?
groeifactor tijd
De letterformule bij de tabel hierboven luidt dan:
h = 50 x 5 t
EXPONENTIËLE Hagelslag
Stel, je bent in een goede bui en besluit , bij afwezigheid van je ouders, het hele huis op te ruimen, de auto te wassen en het gras te maaien. Bij
thuiskomst zijn ze erg verrast maar ook dolblij met je spontane actie.
Je vader wil je belonen en vraagt of hij iets leuks voor je kan kopen. Aangezien je van chocolade hagelslag houdt, doe je het volgende voorstel: je pakt
een schaakbord (je weet wel, zo’n bord met 64 vakjes, zwarte en witte) en zegt tegen je vader:
‘Ik wil graag hagelslag. Wil je één korreltje op het eerste vakje leggen, twee korreltjes op het tweede vakje, vier korreltjes op het derde vakje, acht
op het vierde, zestien op het vijfde, tweeëndertig op het zesde enzovoorts enzovoorts. Dus telkens verdubbelen tot alle vakken gebruikt zijn.’
Je vader denkt: ‘O, dat is geen punt, want dat kan nooit meer dan een paar pakken hagelslag zijn.’ Hij stemt dus toe met je plan en loopt naar zijn
studeerkamer om daar op zijn rekenmachine uit te tellen of hij aan vijf pakken genoeg heeft. Na een kwartiertje komt hij naar je toe met een rood hoofd en
zegt dat hij je toch maar een paar nieuwe computergames cadeau gaat doen…
Hij mompelt dat dat namelijk stukken goedkoper is dan al die hagelslag.
Zijn het dan zo veel korrels?
Wetenschappelijke notatie: Elk getal kun je schrijven in de
wetenschappelijke notatie. Deze notatie wordt vooral gebruikt om zeer
kleine- of grote getallen bij benadering overzichtelijk weer te geven.
De wetenschappelijke notatie begint met een
kommagetal tussen de 1,0 en de 10 keer een hele macht van 10.
Voorbeeld:
830.000.000 kun je schrijven als 8,3 x 108; de positie van de
komma gaat dan 8 plaatsen naar rechts.
Bij zeer kleine getallen wordt als exponent een negatief getal
gebruikt; de positie van de komma gaat dan naar links.
Voorbeeld: 0,000023 kun je schrijven als 2,3 x 10-5.
Sommige rekenmachines geven een andere notatie; 9,77E+07
betekent dan: 9,77*107
meer
...
Voorrangs(reken)regels: Let bij de
berekeningen op de juiste volgorde van de berekeningen. De voorste bewerking hoeft niet
persé als eerste uitgevoerd te worden.
Rekentip: werk de berekeningen met tussenstappen ONDERELKAAR uit; voorkom 'breiwerkjes'!
Haakjes - Machtverheffen/Worteltrekken - Vermenigvuldigen/Delen - Optellen/Aftrekken
(de / betekent dat de operators in gelijke rang zijn, ze worden in dat geval dan in volgorde van links naar rechts uitgevoerd)
Ezelsbruggetje Voorrangs(reken)regels: Hoe Moeten Wij
Van Die Onvoldoenden Afkomen?
Notatie: Afrondingen geef
je aan met een 'afrondteken' (dubbel golfje); √145
≈ 12,0415..
of
√145
≈ 12,04
maar ... √144
=
12 en
√152,2756
≈ 12,34
Kommagetallen (=decimale getallen) met een komma aangeven; dus NIET met een punt zoals op je (internationale) rekenmachine (punten zetten wij bij
elk duizendtal, bijv. 450.000.000)
Wetenschappelijke notatie:
Sommige rekenmachines geven een andere notatie; 9,77E+07
betekent dan: 9,77*107
Tabellen: Bij exponentiële formules heb je
meestal te maken met (erg) grote getallen. Zorg dat de cellen van de tabellen hier breed genoeg voor zijn (2 cm breed?). Grote getallen kunnen ook in
een hoek van 45º worden bijgeschreven.
Zorg voor voldoende ruimte om een tabel te kunnen verlengen. Bij dit hoofdstuk is dat vaak nodig bij inklemmen of
het berekenen van de verdubbelingstijd / halveringstijd.
Vloeiend tekenen: De meeste grafieken moeten vloeiend, en zonder
verdikkingen of aanzettingen, getekend kunnen worden!
Aflezen grafieken: Zet gerichte streepjeslijnen
(met richtingspijl) om aan te geven hoe jij aan je antwoord bent gekomen.
Als je bij de assen tussen twee getallen uitkomt, noteer je de gevonden tussenliggende waarde bij het uiteinde van de streepjeslijn.
Zaagtand: Bij exponentiële formules heb je
meestal te maken met (erg) grote getallen. Vaak is het handig gebruik te maken van een zaagtand aan het begin van de verticale as.
Afronden: Bij afronden óók het
voorlaatste 'tussen'antwoord noteren.
Als een opdracht ontbreekt, ronden we meestal af op 2 decimalen. Hoeken worden doorgaans op hele graden afgerond!
Je mag nóóit verder rekenen met een afgerond getal. Maak gebruik van de geheugenknop van je rekenmachine of typ de
gehele berekening opnieuw in. Bij de exponentiële formules kun je handig achterelkaar vermenigvuldigen met de groeifactor.
Het is mogelijk dat je de opdracht krijgt om de getallen op halven of kwarten af te ronden.