polygon

Driehoeken:  Driehoeken zijn vlakke meetkundige figuren met 3 hoeken die niet op een rechte lijn liggen.

Eigenschap:  De drie hoeken van een driehoek zijn samen 180 graden.

Hoekensom:  Wiskundig gezegd: in elke driehoek is de som van de hoeken  180°, oftewel:
de hoekensom van een driehoek is 180° ( ÐA + ÐB + ÐC = 180° ).
Het was Pythagoras die al bewees dat de som van de hoeken van een driehoek steeds 180 graden is,
al denkt men dat de ontdekking gedaan werd door een leerling van hem en uit respect aan hem werd toegeschreven.

 

SOORTEN DRIEHOEKEN
We onderscheiden de volgende soorten driehoeken:

 

Driehoeken zijn ook te onderscheiden aan hun regelmatigheid.  Onregelmatige driehoeken hebben geen bijzondere eigenschappen zoals een rechte hoek of gelijke zijden.  Wel zijn onregelmatige driehoeken onder te verdelen in scherphoekige- en in stomphoekige driehoeken.

Rechthoekige driehoek

Een rechthoekige driehoek is een driehoek met één rechte (haakse) hoek van 90º.
Doorgaans wordt deze hoek aangegeven met een 'rechthoeksteken' (winkelhaakje).
Beide andere hoeken zijn samen 90º.

Een rechthoekige driehoek bestaat uit twee rechthoekszijden (rhz)
die loodrecht op elkaar staan en een langste zijde (hypotenusa)

Afhankelijk van de hoek van waaruit je kijkt, spreken wij van
een overstaande rechthoekszijde en een aanliggende (aangrenzende) rechthoekszijde. 

De langste zijde (lz) wordt ook wel de schuine zijde genoemd.
Deze omschrijving is niet altijd juist; bij draaien van een rechthoekige driehoek kunnen
de rechthoekszijden ook schuin geplaatst worden.
De langste zijde is altijd de zijde tegenover de haakse hoek.

In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de omliggende zijden van de rechte hoek gelijk aan het kwadraat van de zijden tegenover de rechte hoek (stelling van Pythagoras).
Als in een driehoek de som van de kwadraten van twee zijden gelijk is aan het kwadraat van de derde zijde, dan is de driehoek rechthoekig. (omgekeerde stelling van Pythagoras)
De Stelling van Pythagoras en Goniometrie worden 'alleen' bij rechthoekige driehoeken toegepast.

In een rechthoekige driehoek is het lijnstuk dat het hoekpunt van de rechte hoek verbindt met het midden van de tegenoverliggende zijde gelijk aan de helft van die zijde.

Bijzondere rechthoekige driehoeken:

Van een gelijkbenige rechthoekige driehoek zijn beide scherpe hoeken 45°

De zijden van een gelijkbenige rechthoekige driehoek verhouden zich als 1 : 1 :

De zijden van een rechthoekige driehoek waarvan de scherpe hoeken 30° en 60° zijn, verhouden zich als 1 : 2 : (stelling halve gelijkzijdige driehoek)

 

Een geodriehoek is een voorbeeld van een rechthoekige- / gelijkbenige driehoek

Gelijkbenige driehoek

Een vlak meetkundig figuur met de volgende kenmerken:
-een driehoek met tenminste twee even lange zijden (twee gelijke benen)
-beide basishoeken, die aan de derde zijde (=basis) grenzen, zijn aan elkaar gelijk
  (als in een driehoek twee hoeken even groot zijn, dan zijn de tegenoverliggende zijden even lang)
-de tophoek staat midden boven de basis (let op: als de driehoek gedraaid is hoeft de tophoek niet niet persé de bovenste hoek te wezen
-heeft één symmetrielijn die door de tophoek loopt

 

Gelijkzijdige driehoek

Een meetkundig figuur met de volgende kenmerken:
-een driehoek met 3 even lange zijden (3 gelijke zijden)
-alle hoeken zijn 60° (3 gelijke hoeken; 180 : 3 = 60)
   (als een driehoek drie even grote hoeken (van 60°) heeft, dan is de driehoek gelijkzijdig)
-3 keer spiegelsymmetrisch
-draaisymmetrisch over 120° (360° : 3)
-vanuit ieder hoekpunt is de zwaartelijn ook de bissectrice en de hoogtelijn

Een gelijkzijdige driehoek is een voorbeeld van een regelmatige veelhoek

Elke gelijkzijdige driehoek is ook gelijkbenig

 

 

Scherphoekige  driehoek

Een driehoek met drie scherpe hoeken

Stomphoekige  driehoek

Een driehoek met 1 stompe hoek en 2 scherpe hoeken

 

 

BEREKENINGEN MET DRIEHOEKEN

Oppervlakte driehoeken

De oppervlakte van een driehoek wordt altijd berekend met de woordformule:

Oppervlakte driehoek = basis × hoogte / 2  (of   ½ x basis × hoogte)

letterformules:  b x h /2  of  (b * h) / 2  of  1/2 x b x h  of 

De hoogte en basis staan altijd loodrecht (haaks) op elkaar.
De basis b is altijd één van de zijden van de driehoek.
De hoogte is de (kortste) afstand van die zijde tot het tegenoverliggende punt.
De hoogtelijn kan ook buiten de driehoek zijn.

 

De oppervlakte van de driehoeken hierboven zijn even groot,
omdat zowel de basis als de hoogte van de driehoeken gelijk zijn.

De basis hoeft niet persé de onderste zijde te zijn; de hoogtelijn hoeft niet persé verticaal te zijn..

Omtrek driehoek

De omtrek van een driehoek wordt berekend met de formule:  zijde a + zijde b + zijde c (=de som van alle zijden)

Stelling van Pythagoras

De Stelling van Pythagoras wordt 'alleen' bij rechthoekige driehoeken toegepast.

Goniometrie

Goniometrie berekeningen worden 'alleen' bij rechthoekige driehoeken toegepast.

 

 

Bijzondere rechten in driehoeken

Zwaartelijnen en zwaartepunt:  Een zwaartelijn verbindt een hoekpunt met het midden van de tegenoverliggende zijde.
Een zwaartelijn verdeelt een driehoek in twee driehoeken met gelijke oppervlakte.
De drie zwaartelijnen van een driehoek delen de driehoek in zes driehoeken met gelijke oppervlakten. 
De zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt.
De zwaartelijnen snijden elkaar in verhoudingen 1 : 2
Dit zogenoemde zwaartepunt wordt doorgaans aangegeven met de letter Z.
We kunnen de driehoek laten balanceren  op dit zwaartepunt.

 

Middelloodlijnen:  De middelloodlijn van een lijnstuk is de lijn die het lijnstuk loodrecht middendoor snijdt.
De punten van de middelloodlijn l van lijnstuk AB liggen even ver van A als van B, ofwel d(P,A) = d(P,B).
Het snijpunt van de middelloodlijnen van een driehoek is het middelpunt M van de omgeschreven cirkel.
De verzameling van alle punten die dezelfde afstand hebben tot twee gegeven punten A en B is de middelloodlijn van het lijnstuk AB. (stelling middelloodlijn)

 

Omdat punt M gelijke afstanden tot hoekpunten A én B én C heeft, is dat het middelpunt M van een cirkel die door de drie hoekpunten A, B en C gaat.  Deze cirkel heet de omgeschreven cirkel van driehoek ABC.

Tekenen middelloodlijn:
manier 1: Meet het midden van het lijnstuk en teken met behulp van de nullijn op je geodriehoek daarop een loodrechte lijn.  Geef met een haakje aan dat de middelloodlijn haaks op het lijnstuk staat!
manier 2: Zet je passer in beide punten met gelijke afstand en teken een cirkel erdoor.  De snijpunten van beide cirkels liggen op de middelloodlijn.  Teken nu de middelloodlijn door de snijpunten van beide cirkels.
Geef met een haakje aan dat de middelloodlijn haaks op het lijnstuk staat!

 

Stelling van Thales:  De door de Griekse wiskundige/filosoof Thales van Milete geformuleerde stelling van Thales aangaande cirkels luidt:
Een driehoek ingeschreven in een cirkel, en waarvan één zijde een middellijn van de cirkel vormt, is een rechthoekige driehoek.

Hoogtelijnen:  Een hoogtelijn in een driehoek is een lijn van een hoekpunt loodrecht op de (verlengde) zijde daar tegenover.
Elke driehoek heeft drie hoogtelijnen (vanuit elk hoekpunt één).
Bij een stomphoekige driehoek liggen altijd 2 hoogtelijnen buiten de driehoek.  In een scherphoekige driehoek liggen de hoogtelijnen er altijd binnen.
De hoogtelijnen van een driehoek gaan door één punt.  Dat punt heet het hoogtepunt (punt H) of ook wel het Orthocentrum van de driehoek.

Hoogtelijnen spelen een rol in de oppervlakteberekeningen van driehoeken.

 

Rechte van Euler:  Het zwaartepunt Z en het middelpunt M en het hoogtepunt H liggen op één lijn; de zogenoemde Rechte van Euler (Z, M en H zijn collineair).

 

Bissectrices:  De bissectrice (deellijn) is een lijn die een hoek middendoor deelt.  Ieder punt op de bissectrice heeft gelijke afstanden tot de bijbehorende benen van de hoek.
Elke driehoek heeft drie bissectrices (vanuit elk hoekpunt één) en gaan door één punt.
De verzameling van alle punten die dezelfde afstand hebben tot twee elkaar snijdende lijnen, is het bissectricepaar (deellijnenpaar) van die twee lijnen.

Het snijpunt van de bissectrices van een driehoek is het middelpunt van de ingeschreven cirkel.
Dit snijpunt S heeft gelijke afstanden (straal s) tot alle drie de zijden van de driehoek.

Middenparallel:  Een lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek verbindt noem je een middenparallel.
Elke middenparallel is evenwijdig aan een zijde van de driehoek en is in lengte de helft van die zijde. 

 

Congruente driehoeken:   Twee driehoeken zijn congruent (= gelijk) als ze gelijk hebben:
- een zijde en twee aanliggende hoeken
- een zijde, een aanliggende hoek en de tegenoverliggende hoek
- twee zijden en de ingesloten hoek
- alle zijden
- twee zijden en de rechte hoek tegenover één van die zijden

Gelijkvormige driehoeken:   Twee driehoeken zijn gelijkvormig als ze gelijk hebben:
- twee hoeken
- een hoek en de verhouding van de omliggende zijden
- de verhouding van de zijden
- een rechte hoek en de verhouding van twee niet-omliggende zijden

Lijnen door één punt:
De middelloodlijnen van de (zijden van) een driehoek snijden elkaar in één punt.
De bissectrices (deellijnen) van (de hoeken van) een driehoek snijden elkaar in één punt.
Een hoogtelijn van een driehoek is de lijn door een hoekpunt van de driehoek die de lijn door de tegenoverliggende zijde loodrecht snijdt.  De hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt.

 

Spelling:  middelloodlijn, middenparallel, bissectrice,